內自同構

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抽象代數入面,內自同構係指或者代數入面嘅一種自同構,係由一個揀定咗嘅元素嘅共軛作用整出嚟嘅,呢個元素有時會叫做conjugating element。呢種同構可以好簡單噉用羣入面嘅運算表達出嚟,所以叫做「內」自同構。將啲內自同構攞埋一齊睇,會組成成個自同構羣嘅一個正規子羣。對呢個正規子羣取商嘅話就會得到外同構羣

定義[編輯]

假設係一個羣,入面一個元素(或者係一個環,係一個可逆元),噉函數

就叫做嘅右共軛(right conjugation by ),噉樣定義出嚟嘅函數係上面嘅自同態:對任何嘅

其中第二步係𠓼個單位元入去中間。另外,呢個函數有個雙邊逆元,所以雙射,亦即係話係一個自同構。任何噉樣做共軛得出嚟嘅同構都叫做內自同構[1]

寫右共軛嗰陣,好多時呢嚿嘢會直接寫做,呢個寫法好方便,因為共軛嘅複合符合呢條式,亦即係話共軛係羣對自己嘅右作用

內外自同構羣[編輯]

兩個內自同構複合埋一齊都係內自同構,所以所有內自同構一齊就形成咗一個羣,叫嘅「內自同構羣」(inner automorphism group),寫做

事實上,係成個自同構羣嘅一個正規子羣,取個就係外自同構羣

所以外自同構羣可以話係量度有幾多嘅自同構唔係內自同構。每一個非內自同構都可以整一個入面嘅非平凡元素出嚟,但係唔同嘅非內自同構有機會整同一個元素出嚟。

一個元素係另一個元素嘅共軛作用下不變係等價於呢兩個元素可以交換:

所以內自同構羣可以話係量度個羣(或者環)係有幾唔交換

有一個內自同構嘅判別方法:羣嘅一個自同構係內自同構若且唯若佢可以延伸(extend)去任可一個裝著嘅羣[2]

對任何元素都可以對應一個內自同構,呢一個對應畀咗一個商羣嘅中心)同之間嘅同構

呢個其實可以用第一同構定理證明出嚟,因為入面嘅元素同嘅所有元素都交換,即係話佢對應嘅共軛作用固定所有元素。

有限p-羣嘅非內自同構[編輯]

Wolfgang Gaschütz嘅一個定理話如果係一個有限唔交換p-羣嘅話,噉就有一個非內自同構嘅階係p嘅次方。

但係如果想問有冇一個個階係p嘅話就暫時係open problem嚟。不過如果符合以下其中一個條件嘅話答案就係肯定嘅:

  1. 係二階零冪
  2. regular p-羣
  3. powerful p-羣
  4. Frattini子羣嘅中心嘅中心化子CGZ ∘ Φ(G),同Φ(G)唔一樣

羣嘅種類[編輯]

嘅內自同構羣係平凡若且唯若交換羣,而如果係循環羣嘅話就只能係平凡羣。

喺另一個極端,內自同構羣可能已經等於成個自同構羣;一個羣如果佢所有自同構都係內自同構,而且中心係平凡嘅話個羣就叫做完整(complete)。例子有元素對稱羣(),如果嘅話,個對稱羣有一類外自同構,而如果嘅話,雖然無外自同構,但係佢係交換羣,所以中心唔係平凡子羣,即係話唔係完整。

如果一個完美羣(perfect group)嘅內自同構羣係簡單羣嘅話,就會話擬簡單羣(quasisimple)。

李代數[編輯]

一個李代數𝔊嘅自同構如果可以寫做Adg噉嘅樣嘅話就叫一個內自同構,其中Ad係個伴隨表示g係對應李羣嘅一粒元素。呢個內自同構嘅定義同對應李羣嘅內自同構嘅定義係相容嘅,意思即係李羣嘅內自同構可以誘發對應李代數上面嘅內自同構。

延伸[編輯]

如果係一個A單位羣(group of units)嘅話,嘅內自同構可以延伸去矩陣環M2(A)嘅單位羣對A上面嘅射影直線嘅一個作用,所以經典羣嘅內自同構可以用呢個方法去延伸。

參考[編輯]

  1. S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (第3.版). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
  2. Schupp, Paul E. (1987), "A characterization of inner automorphisms" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 101 (2): 226–228, doi:10.2307/2045986, JSTOR 2045986, MR 0902532

參考書[編輯]