內自同構

喺抽象代數入面，內自同構係指羣、環或者代數入面嘅一種自同構，係由一個揀定咗嘅元素嘅共軛作用整出嚟嘅，呢個元素有時會叫做conjugating element。呢種同構可以好簡單噉用羣入面嘅運算表達出嚟，所以叫做「內」自同構。將啲內自同構攞埋一齊睇，會組成成個自同構羣嘅一個正規子羣。對呢個正規子羣取商嘅話就會得到外同構羣。

定義

假設$G$係一個羣，$g$係$G$入面一個元素（或者$G$係一個環，$g$係一個可逆元），噉函數

${\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\longrightarrow G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}$

就叫做$g$嘅右共軛（right conjugation by $g$），噉樣定義出嚟嘅函數係$G$上面嘅自同態：對任何嘅$x_{1},x_{2}\in G$，

$\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=(g^{-1}x_{1}g)(g^{-1}x_{2}g)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),$

其中第二步係𠓼個單位元$e=gg^{-1}$入去中間。另外，呢個函數有個雙邊逆元$\varphi _{g^{-1}}$，所以$\varphi _{g}$係雙射，亦即係話係一個自同構。任何噉樣做共軛得出嚟嘅同構都叫做內自同構。

寫右共軛嗰陣，好多時$g^{-1}xg$呢嚿嘢會直接寫做$x^{g}$，呢個寫法好方便，因為共軛嘅複合符合$(x^{g_{1}})^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$呢條式，亦即係話共軛係羣$G$對自己嘅右作用。

內外自同構羣

兩個內自同構複合埋一齊都係內自同構，所以所有內自同構一齊就形成咗一個羣，叫$G$嘅「內自同構羣」（inner automorphism group），寫做$\operatorname {Inn} (G)$。

事實上，$\operatorname {Inn} (G)$係成個自同構羣$\operatorname {Aut} (G)$嘅一個正規子羣，取個商就係外自同構羣$\operatorname {Out} (G)$：

$\operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).$

所以外自同構羣可以話係量度有幾多$G$嘅自同構唔係內自同構。每一個非內自同構都可以整一個$\operatorname {Out} (G)$入面嘅非平凡元素出嚟，但係唔同嘅非內自同構有機會整同一個元素出嚟。

一個元素$x$係另一個元素$g$嘅共軛作用下不變係等價於呢兩個元素可以交換：

$a^{-1}xa=x\iff ax=xa.$

所以內自同構羣可以話係量度個羣（或者環）係有幾唔交換。

有一個內自同構嘅判別方法：羣$G$嘅一個自同構係內自同構若且唯若佢可以延伸（extend）去任可一個裝著$G$嘅羣。

對任何元素$g\in G$都可以對應一個內自同構$x\mapsto x^{g}$，呢一個對應畀咗一個商羣$G/Z(G)$（$Z(G)$係$G$嘅中心）同$\operatorname {Inn} (G)$之間嘅同構：

$G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G).$

呢個其實可以用第一同構定理證明出嚟，因為$Z(G)$入面嘅元素同$G$嘅所有元素都交換，即係話佢對應嘅共軛作用固定所有元素。

有限p-羣嘅非內自同構

Wolfgang Gaschütz嘅一個定理話如果$G$係一個有限唔交換p-羣嘅話，噉$G$就有一個非內自同構嘅階係p嘅次方。

但係如果想問有冇一個個階係p嘅話就暫時係open problem嚟。不過如果$G$符合以下其中一個條件嘅話答案就係肯定嘅：

1. $G$係二階零冪
2. $G$係regular p-羣
3. $G/Z(G)$係powerful p-羣
4. $G$嘅Frattini子羣嘅中心嘅中心化子，C_G ∘ Z ∘ Φ(G)，同Φ(G)唔一樣

羣嘅種類

$G$嘅內自同構羣$\operatorname {Inn} (G)$係平凡若且唯若$G$係交換羣，而$\operatorname {Inn} (G)$如果係循環羣嘅話就只能係平凡羣。

喺另一個極端，內自同構羣可能已經等於成個自同構羣；一個羣如果佢所有自同構都係內自同構，而且中心係平凡嘅話個羣就叫做完整（complete）。例子有$n$元素對稱羣（$n\neq 2,6$），如果$n=6$嘅話，個對稱羣有一類外自同構，而如果$n=2$嘅話，雖然無外自同構，但係佢係交換羣，所以中心唔係平凡子羣，即係話$S_{2}$唔係完整。

如果一個完美羣（perfect group）$G$嘅內自同構羣係簡單羣嘅話，就會話$G$係擬簡單羣（quasisimple）。

李代數

一個李代數𝔊嘅自同構如果可以寫做Ad_g噉嘅樣嘅話就叫一個內自同構，其中Ad係個伴隨表示，g係對應李羣嘅一粒元素。呢個內自同構嘅定義同對應李羣嘅內自同構嘅定義係相容嘅，意思即係李羣嘅內自同構可以誘發對應李代數上面嘅內自同構。

延伸

如果$G$係一個環A嘅單位羣（group of units）嘅話，$G$嘅內自同構可以延伸去矩陣環M₂(A)嘅單位羣對A上面嘅射影直線嘅一個作用，所以經典羣嘅內自同構可以用呢個方法去延伸。

參考書

• Abdollahi, A. (2010), "Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology", J. Algebra, 323 (3): 779–789, arXiv:0901.3182, doi:10.1016/j.jalgebra.2009.10.013, MR 2574864
• Abdollahi, A. (2007), "Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p", J. Algebra, 312 (2): 876–879, arXiv:math/0608581, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036, MR 2333188
• Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "Noninner automorphisms of order p of finite p-groups", J. Algebra, 250: 283–287, doi:10.1006/jabr.2001.9093, MR 1898386
• Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen", J. Algebra, 4: 1–2, doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7, MR 0193144
• Liebeck, H. (1965), "Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2", J. London Math. Soc., 40: 268–275, doi:10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR 0173708
• Hazewinkel, Michiel, 編 (2001), "Inner automorphism", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W., "Inner Automorphism" - MathWorld.（英文）