分裂域

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抽象代數入面,一個系數多項式 P(X) 嘅分裂域根域)係 “最小”嘅一個擴域 ,使到喺其中 P 可以被分解為一次因式 的乘積,其中嘅 入面嘅元素。一個 上嘅多項式並唔一定只係有一個分裂域,但係佢所有嘅分裂域都係同構嘅:在同構意義上, 上嘅多項式嘅分裂域係唯一嘅。

術語同定義[編輯]

稱一個系數 嘅多項式 P(X) 係 嘅某個擴域 分裂,if and only if 呢個多項式可以用呢個域入面嘅元素黎分解(分裂)成最簡單嘅一次因式嘅乘積:

其中嘅 。換句話嚟講,P都在 中。

令到 P 喺其中分裂的擴域 有好多,譬如對於某個得 P 分裂嘅 ,佢任意嘅擴域 亦都滿足。然而其中入面“最細”嘅域在同構意義上係獨一無二嘅。所謂嘅“最細”域,係指符合下面條件嘅一個擴域

  1. 入面,P 可以分解為一次因式嘅乘積;
  2. 嘅任何真子域(不等於自已)入面, P 無任何方法可以好似咁黎分解。

咁樣啲擴域叫做 P 上面嘅分裂域

例子[編輯]

如果 有理數域 ,多項式為

P(X) = X3 − 2,

咁樣佢嘅分裂域 可以係喺 之中加多三次單位根 同2 嘅立方根而得到嘅擴域:。因為呢個時候 P 可以寫成:

同一個多項式喺唔同嘅域上嘅分裂域唔一定相同,好似:

多項式 x2 - 1 喺準有限域 GF7 上面嘅分裂域係 GF7,因為在其上 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) 已經完成咗分解。

性質[編輯]

給定多項式 P(X) 在 上的分裂域 ,假設 入面 P 分解為

咁樣

對於域 的一個代數閉域擴域 上嘅一個多項式 P ,存在 P 上面嘅唯一一個分裂域 ,使到

對於 嘅一個可分擴張 伽羅華閉包係一個分裂域,亦都係 的包含 的一个“最小”的伽羅華擴張。一個咁樣嘅伽羅華閉包包含咗 入面任意元素 a 喺 上面嘅極小多項式 上嘅分裂域。

參考[編輯]

參考來源[編輯]

  • Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
  • David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1