分裂域

抽象代數入面，一個系數域為 $\mathbb {K}$ 嘅多項式 P(X) 嘅分裂域（根域）係 $\mathbb {K}$ “最細”嘅一個擴域 $\mathbb {L}$ ，使到喺其中 P 可以被分解為一次因式 $X-r_{i}$ 嘅乘積，其中嘅 $r_{i}$ 係 $\mathbb {L}$ 入面嘅元素。一個 $\mathbb {K}$ 上嘅多項式並唔一定只係有一個分裂域，但係佢所有嘅分裂域都係同構嘅：喺同構意義上， $\mathbb {K}$ 上嘅多項式嘅分裂域係唯一嘅。

術語同定義

稱一個系數域為 $\mathbb {L}$ 嘅多項式 P(X) 係 $\mathbb {L}$ 嘅某個擴域 $\mathbb {L}$ 中分裂，if and only if 呢個多項式可以用呢個域入面嘅元素分解（分裂）成最簡單嘅一次因式嘅乘積：

P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}=\prod _{i=1}^{k}(X-r_{i})

其中嘅 $a_{i}\in \mathbb {K}$ ， $r_{i}\in \mathbb {L}$ 。換句話講，P 嘅根都喺 $\mathbb {L}$ 裏面。

令到 P 喺其中分裂嘅擴域 $\mathbb {L}$ 有好多，譬如對於某個得 P 分裂嘅 $\mathbb {L}$ ，佢任意嘅擴域 $\mathbb {L} '$ 亦都滿足。然而其中入面「最細」嘅域喺同構意義上係獨一無二嘅。所謂嘅「最細」域，係指符合下面條件嘅一個擴域 $\mathbb {E}$ ：

喺 $\mathbb {E}$ 入面，P 可以分解為一次因式嘅乘積；
喺 $\mathbb {E}$ 嘅任何真子域（唔等於自己）入面， P 無任何方法可以好似咁嚟分解。

咁樣啲擴域叫做 P 喺 $\mathbb {K}$ 上面嘅分裂域。

例子

如果 $\mathbb {K}$ 係有理數域 $\mathbb {Q}$ ，多項式為

P(X) = X³ − 2,

咁樣佢嘅分裂域 $\mathbb {L}$ 可以係喺 $\mathbb {Q}$ 之中加多三次單位根 $\omega$ 同2 嘅立方根而得到嘅擴域： $\mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})$ 。因為呢個時候 P 可以寫成：

P=(X-{\sqrt[{3}]{2}})(X-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(X-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})

同一個多項式喺唔同嘅域上嘅分裂域唔一定相同，好似：

多項式 x² + 1 喺實數域 R 上面嘅分裂域係複數域 C。
多項式 x² + 1 喺準有限域 GF₇ 上面嘅分裂域係 GF_7².

多項式 x² - 1 喺準有限域 GF₇ 上面嘅分裂域係 GF₇，因為喺其上 x² − 1 = (x + 1)(x − 1) 已經分解完。

性質

給定多項式 P(X) 在 $\mathbb {K}$ 上嘅分裂域 $\mathbb {E}$ ，假設 $\mathbb {E}$ 入面 P 分解為

P=\prod _{i=1}^{k}(X-r_{i})

咁樣 $\mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})$ 。

對於域 $\mathbb {K}$ 嘅一個代數閉域擴域 $\mathbb {A}$ 同 $\mathbb {K}$ 上嘅一個多項式 P ，存在 P 喺 $\mathbb {K}$ 上面嘅唯一一個分裂域 $\mathbb {L}$ ，使到 $\mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A}$ 。

對於 $\mathbb {K}$ 嘅一個可分擴張 $\mathbb {K} '$ ， $\mathbb {K} '$ 嘅伽羅華閉包係一個分裂域，亦都係 $\mathbb {K}$ 嘅包含 $\mathbb {K} '$ 嘅一個「最細」嘅伽羅華擴張。一個咁樣嘅伽羅華閉包包含咗 $\mathbb {K} '$ 入面任意元素 a 喺 $\mathbb {K}$ 上面嘅極小多項式喺 $\mathbb {K}$ 上嘅分裂域。

參考

Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1

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