立方根

$y={\sqrt[{3}]{x}}\quad (x\geq 0)$嘅圖像

如果一個數$x$嘅立方等於$a$，噉呢個數$x$卽係$a$嘅立方根，其中$x$又叫被開方數，而$x$可以係正數、0、負數或者虛數。例如3嘅立方係27，噉呢個數3卽係27嘅一個立方根（喺實數範圍内）。若果$x$係正實數，呢個乘積相當於一個邊長爲$x$嘅立方體嘅體積。

符號

喺實數系入面，實數$a$嘅立方根通常用${\sqrt[{3}]{a}}$表示，可讀作「$a$嘅立方根」，「立方根$a$」或者「根號$a$開三次方」。，但喺實數系有且僅有一個。卽喺實數系，實數$a$嘅立方根唯一確定。習慣，三次根號${\sqrt[{3}]{a}}$僅用嚟表示實數解。例如：${\sqrt[{3}]{1}}$僅表示實數1，而唔表示複數${\frac {-1+{\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$，同${\frac {-1-{\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$。

1嘅立方根

卽解$x^{3}=1$，解法以下：

$\Rightarrow x^{3}-1=0$

$\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0$（立方差）

$\Rightarrow x-1=0$或者$x^{2}+x+1=0$

$\Rightarrow x=1$或者$x={\frac {-1\pm {\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$（公式解）

令$\omega ={\frac {-1+{\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$，則$\omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$；反之，令$\omega ={\frac {-1-{\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$，則$\omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$。由以上嘅式子睇得出$\omega$嘅特性有：

• $\omega ^{2}+\omega +1=0$
• $\omega ^{3}=1$（將$\omega$代返$x^{3}=1$求得）

故此$\omega$可代表${\frac {-1\pm {\sqrt[{2}]{3}}i}{2}}$入面嘅任何一數，卽$\omega$爲1嘅立方虛根。

數值方法

• 牛噸法：$x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)$
• 哈雷法：$x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)$

符號史

1220年意大利人斐波那契第一次用$\operatorname {R} x$嚟表達立方根，$\operatorname {R}$源於拉丁文radix嘅首字母，意思爲「根、方根」。

17世紀初，法國數學家笛卡兒（1596年至1650年）喺佢嘅著作幾何學入面第一次使用唔連續嘅「√」同「￣」表示根號，其中「√」爲細寫r嘅變形。到咗18世紀中葉，數學家盧貝（Loubere）將前面嘅方根符號同綫括號一筆寫成，並將根指數寫喺根號嘅左上角，以表示高次方根（如果根指數係2，就省略唔寫）。噉就形成咗家下嘅開方符號${\sqrt {\color {white}x}}$。

睇𠹺

• 方根