二次方程

利用圖表嚟表達$f(x)=x^{2}-x-2$，佢嘅 $x$-截距 $-1$ 同 $2$ 正正就係二次方程 $x^{2}-x-2=0$ 嘅解

二次方程（英文：quadratic equation）係指只有一個未知數、最高次數係 $2$ 嘅多項式方程。比佢簡單嘅有線性方程，係最簡單嘅方程式。而二次方程就係繼線性方程之後被數學家研究嘅方程。如果用圖表畫出，就會得出一條拋物線。一般嚟講，二次方程可以寫做以下呢個樣：$$ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)$$而$a$、$b$同$c$一般嚟講都係一個實數，不過亦都可以係其他數字系統入面嘅數，例如整數、有理數、複數、p進數等等，甚至$a$、$b$、$c$自己都係函數都得。

解二次方程

解析解

二次公式，用嚟解二次方程。

解二次方程嘅其中一個方法就係配方法（completing the square）。假設有一條二次方程：

$ax^{2}+bx+c=0$

先確保$x^{2}$嘅常數係$1$，所以成條式除以$a$得出：

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

再做配方法，配方法係利用$\left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}=a^{2}\pm ab+{\frac {b^{2}}{4}}$，轉個轉方法寫出嚟，即係變成咁$a^{2}\pm ab=\left(a\pm {\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}$，再應用得出：

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0$

咁整理一下：

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

將兩邊都開一次方，就得出：（注意，開方有正有負）

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

再整理一次：

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

呢條式就係著名嘅二次公式。

呢條公式去到17世紀先至有人砌到出黎。雖然喺1585年，數學家Simon Stevin係佢嘅著作L'Arithmetique入面已經有提到點樣解二次方程，但係佢就係用文字表達出嚟，而唔係用數學式。最後，數學家用咗四十幾年先可以正式解到。

巴比倫人嘅解法

巴比倫人應該係世界上第一族可以解到二次方程嘅人。早喺公元前2000年，巴比倫有一塊碑度記載咗點解二次方程，以下係英文翻譯：

「I have subtracted from the area the side of my square: 14.30. Take 1, the coefficient. Divide 1 into two parts: 30. Multiply 30 and 30:15. You add to 14.30, and 14.30.15 has the root 29.30. You add to 29.30 the 30 which you have multiplied by itself: 30, and this is the side of the square.」

判別式

内文：判別式

因為根號入面嘅數值會影響咗實根嘅數量，所以就有以下嘅判別式（discriminant）：

$\Delta ={b^{2}-4ac}$

當所有係數$(a,b,c)$都係實數時，

當 $\Delta >0$，有兩個唔同嘅實根；

當 $\Delta =0$，有兩個一樣嘅實根，叫重根；

當 $\Delta <0$，因為負數嘅開方係虛數，所以冇實根，而係有一對共軛嘅複數根。

睇埋

• 拋物線
• 線性方程
• 三次方程
• 複數