立方數

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立方數係指可以寫成一個整數立方,即係佢嘅立方根係整數嘅數。例如343係7嘅立方,所以係一個立方數。

平方數唔同,立方數可存在負數

若將立方數概念擴展到有理數,則兩個立方數嘅比仍然系立方數,例如, (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一個整數冇除咗 1 之外嘅立方數為其因數,則稱其為無立方數因數嘅數

頭十個立方數(OEIS中嘅數列A000578)係:1827641252163435127291000...(第零個係0

立方數和[編輯]

個正立方數嘅和係,即第三角形數平方

每個整數都可以表示成9個或以下嘅正立方數嘅和。(華林問題

1939年,狄克森證明只有23239需要用9個正立方數嘅和嚟表示。

亞瑟·韋伊費列治證明只有15個整數須用8個:152250114167175186212231238303364420428454((OEIS中嘅數列A018889))。

的士數同埋士的數都指最細能夠表示成兩個立方數嘅和嘅數,但的士數嘅必須為正數,士的數就無呢個限制。(見1729

只有一組連續三個立方數嘅和一樣係立方數,就係345嘅立方,加埋等於6嘅立方。

十進制,除咗1之外,得4個嘅正整數,每個數字立方嘅和係等同佢本身,佢哋係153370371407,佢哋係自戀數。呢4個三位數,亦可視為將佢嘅數字分成三份,每份嘅立方嘅和,相似性質嘅整數有無限個,如165033、221859、336700等(OEIS中嘅數列A056733)。

性質[編輯]

  • 除咗0以外,立方數不可能系普洛尼克數[註 1]
  • 除咗0以外,立方數也不可能系連續若干個(至少兩個)數嘅積。[註 2]
  • 除咗0,1,8以外,立方數不可能系費波嗰契數
  • 除咗1以外,立方數喺楊輝三角形只出現二次。
  • 立方數不可能系楔形數半質數
  • 0以外嘅立方數每一位數數字相加之和,唔停重復地相加到剩一位數時必定系 1, 8, 9。
  • 系否喺相繼立方數之間存在一個素數呢一命題,對1000000000000以內嘅數目系正確嘅。
  • 立方數系模任何整數嘅三次剩餘;另外,如果某個整數系模任何整數嘅三次剩餘,咁佢一定系立方數。
  • 立方數嘅正因數個數一定系3嘅倍數加1。

其他[編輯]

  • 立方質數英文Cuban prime嘅定義為,其中

睇埋[編輯]

注釋[編輯]

  1. 因為n與(n+1)差1,所以兩數互質,故若n×(n+1)為立方數,則n與(n+1)也皆為立方數,2個立方數差1,則必為0與1,因此唯一嘅普洛尼克數兼立方數為0=0×1。
  2. 連續若干個(剛好兩個)數嘅積系普洛尼克數