質數冪

質數冪係數學名詞，係指單一質數嘅乘積組成嘅自然數。

例如：7 = 7¹、9 = 3² 同埋32 = 2⁵都係質數冪，而6 = 2 × 3、12 = 2² × 3和 36 = 6² = 2² × 3²、40 = 2³ × 5唔係，因為佢哋有兩個或者超過兩個質因數。

前幾個質數冪如下：2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... （OEIS數列A246655）、（OEIS數列A000961）（有1嘅數列）

質數冪係只有一個質因數嘅整數。質數冪同類似嘅概念又叫做准素（primary numbers），例如准素分解。

性質

代數性質

質數冪係質數嘅自乘積。每一個質數冪（2嘅冪次除外）都有一個原根，因此整數模嘅整數模n乘法群pⁿ係循環群。

有限域元素嘅總數一定係質數冪，相對嘅，質數冪一定係某一個有限域元素嘅個數（頂多有同構嘅差異）。

組合性質

質數冪嘅一個特性常用喺解析數論中：質數冪嘅集合中唔係質數嘅元素係small set，因為佢嘅倒數嘅無限級數和收斂，而質數則係large set。

可除性

質數冪嘅歐拉函數（φ）及除數函數（σ₀）和σ₁可以用下式計算：

$\varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),$

$\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

$\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.$

其他

所有嘅質數冪都係次方數（質數除外），質數冪冇可能係楔形數、佩服數。

2嘅冪都係殆完全數。

所有質數冪都係虧數。質數冪pⁿ係n次殆素數。重未確定質數冪係唔係可以係相親數，若果有咁嘅數，pⁿ一定大過10¹⁵⁰⁰，而且n一定大過1400。

流行媒體

喺1997嘅電影《異次元殺陣》中，質數冪係其中重要嘅一部份，喺好似迷宮噉嘅立方體結構中，質數冪係致命牙煙嘅指標。

參考

• Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.

睇埋

• 殆素數
• 次方數
• 半素數