過剩數

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喺數論中,若一個正整數除咗本身外之所有正因數之和比此數自身大,則稱此數為過剩數(又稱作豐數盈數)。

例如12除咗本身外之所有正因數有 1,2,3,4,6,而1+2+3+4+6=16,16>12,所以12可稱為過剩數。

更為嚴格地講,過剩數系指使得函數 σ(n) > 2n嘅正整數,其中指嘅系因數和函數,即n嘅所有正因數(包括n)之和。σ(n) − 2n稱作n盈度

用上例12嘅正因數有 1,2,3,4,6,12,而1+2+3+4+6+12=28,28>122,所以12可稱為過剩數。

最小嘅一些過剩數系: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(OEIS中嘅數列A005101

以上列出嘅過剩數都系偶數。最小嘅奇過剩數系945。1998年Marc Deléglise 證明了過剩數喺自然數中嘅自然密度介於0.2474 與0.2480之間。

奇過剩數和偶過剩數都有無窮多個,因為每個完全數和過剩數嘅倍數(唔包括佢哋自身)都系過剩數。甚至,每個大於20161嘅數都可以寫成兩個過剩數之和。許多過剩數一部分真因數嘅和等於過剩數自身,咁嘅過剩數也系半完全數,一個唔系半完美數嘅過剩數叫做奇異數;盈度為1嘅過剩數叫做准完全數

與過剩數相關嘅概念系完全數σ(n) = 2n)和虧數σ(n) < 2n)。最早將自然數分為過剩數、完美數和虧數嘅系Nicomachus所著嘅Introductio Arithmetica (公元前100年)。

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