過剩數

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喺數論中,若果一個正整數除本身以外所有正因數嘅和比呢個數自身大,呢個數就係過剩數(又稱作豐數盈數)。

例如12除本身以外所有正因數有 1、2、3、4、6,而1+2+3+4+6=16,16>12,所以12可稱為過剩數。

更為嚴格地講,過剩數係指令函數 σ(n) > 2n嘅正整數,其中指嘅係因數同函數,即n嘅所有正因數(包括n)嘅和。σ(n) − 2n稱作n盈度

用上例12嘅正因數有 1、2、3、4、6、12,而1+2+3+4+6+12=28,28>122,所以12可稱為過剩數。

最細嘅一啲過剩數系: 121820243036404248545660667072788084889096100102、…(OEIS中嘅數列A005101

以上列出嘅過剩數都係偶數。最細嘅奇過剩數係945。1998年Marc Deléglise 證明過剩數喺自然數中嘅自然密度介乎0.2474同埋0.2480之間。

奇過剩數同埋偶過剩數都有無限咁多個,因為每個完全數英文Perfect number同埋過剩數嘅倍數(唔包括佢哋自身)都係過剩數。甚至,每個大過20161嘅數都可以寫成兩個過剩數嘅和。好多過剩數一部分真因數嘅和等於過剩數自身,噉嘅過剩數叫做半完全數,一個唔係半完美數嘅過剩數叫做奇異數;盈度係1嘅過剩數叫做准完全數

同過剩數相關嘅概念係完全數英文Perfect numberσ(n) = 2n)同埋虧數英文Deficient numberσ(n) < 2n)。最早將自然數分為過剩數、完美數同埋虧數嘅係Nicomachus所著嘅Introductio Arithmetica (公元前100年)。

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