高過剩數

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高過剩數highly abundant number)係指一正整數,佢嘅除數函數(含本身嘅所有因數和)大過所有細啲嘅正整數嘅除數函數。

定義及舉例[編輯]

自然數n係高過剩數,若且唯若對於所有小於n嘅自然數m,下式恆成立:

其中σ係除數函數

頭幾個高過剩數係:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, ... (OEIS中嘅數列A002093).

以5為例,σ(5) = 5+1 = 6細過σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7,因此5唔係高過剩數,而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大過所有較小正整數嘅除數函數,因此8係高過剩數。

同其他整數嘅關係[編輯]

雖然頭8個階乘嘅結果都係高過剩數,之不過唔係所有階乘嘅結果都係高過剩數

σ(9!) = σ(362880) = 1481040

但有數字較9!細,而除數函數比σ(9!)大

σ(360360) = 1572480

因此9!唔係高過剩數,比9!細一啲嘅360360先係高過剩數。