友誼數

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數論入面,友誼數係指兩個正整數m同埋n滿足σ(m)/m = σ(n)/ n嘅關係,其中σ(n)係因數函數,咁嘅話我哋話佢哋係朋友,呢二個整數互為友誼數。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200) /200 = 93/40,因此80200都係友誼數。

友誼數為傳遞關係,若m同n係友誼數,n同p係友誼數,噉m同p就一定係友誼數

所有已知嘅友誼數有6, 12, 24, 28, 30, ...(OEIS:A074902,按σ(n)/n相同嘅組對排列:OEIS:A050973

確定唔係友誼數嘅數就叫孤獨數。但係有啲數未能證明佢係咪孤獨數,例如10。

例如[編輯]

再舉一個例子,30同140組成友好對,因為30同140具有相同嘅「豐度」:

數字2480、6200同40640都係呢個「俱樂部」嘅成員,因為佢哋各自嘅「豐度」都係12/5。

對於奇數數字友好嘅示例,請考慮135同819(「豐度」16/9)。仲存在一奇一偶「友好」嘅情況,例如42同544635(「豐度」16/7)。奇數個「朋友」可能細過偶數嗰個,例如84729645同155315394(「豐度」896/351)。

平方數可以係友好數,例如693479556(平方數26334)同8640都具有「豐度」127/36(呢個示例已由Dean Hickerson證明),立方數都可以係友好數,例如3375(立方數15)同6975都具有「豐度」416/225。

較小的n[編輯]

藍色數字證明係友好嘅(OEIS中嘅數列A074902),紅色數字證明係孤獨嘅(OEIS中嘅數列A095739),如果n互質,咁佢就係孤獨數(OEIS中嘅數列A014567),不過呢度未將佢油成深色。其他號碼嘅狀態未知,並且高亮黃色顯示。

n n n n n
1 1 1 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109 145 180 36/29
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55 146 222 111/73
3 4 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111 147 228 76/49
4 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14 148 266 133/74
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113 149 150 150/149
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19 150 372 62/25
7 8 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115 151 152 152/151
8 15 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58 152 300 75/38
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9 153 234 26/17
10 18 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59 154 288 144/77
11 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119 155 192 192/155
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3 156 392 98/39
13 14 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121 157 158 158/157
14 24 12/7 50 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61 158 240 120/79
15 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41 159 216 72/53
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31 160 378 189/80
17 18 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125 161 192 192/161
18 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21 162 363 121/54
19 20 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127 163 164 164/163
20 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128 164 294 147/82
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129 165 288 96/55
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65 166 252 126/83
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131 167 168 168/167
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11 168 480 20/7
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133 169 183 183/169
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67 170 324 162/85
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9 171 260 260/171
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68 172 308 77/43
29 30 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137 173 174 174/173
30 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23 174 360 60/29
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139 175 248 248/175
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5 176 372 93/44
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47 177 240 80/59
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71 178 270 135/89
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143 179 180 180/179
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144 180 546 91/30

大嘅友誼數群[編輯]

若三個或三個以上嘅正整數,其因數函數除以自身嘅比值相等,噉呢啲正整數形成友誼數群(Friendly number club),目前仲未知係咪有由無限多個正整數組成嘅友誼數群。完全數嘅因數函數係自身嘅兩倍,因此所有完全數形成一個友誼數群,推測應該會有無限多個完全數(至少會同梅森質數嘅數量一樣多),但未被證明。