友誼數

喺數論入面，友誼數係指兩個正整數 $m$ 同埋 $n$ 滿足 ${\frac {\sigma (m)}{m}}={\frac {\sigma (n)}{n}}$ 嘅關係，其中 $\sigma (n)$ 係因數函數，咁嘅話佢哋就係「朋友」，呢兩個整數互為友誼數。

例如 ${\frac {(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)}{80}}={\frac {(1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)}{200}}={\frac {93}{40}}$，因此80同200都係友誼數。

友誼數為傳遞關係，若果m同n係友誼數，n同p係友誼數，噉m同p就一定係友誼數。

所有已知嘅友誼數有6、12、24、28、30、…（OEIS:A074902，按σ(n)/n相同嘅組對排列：OEIS:A050973）

確定唔係友誼數嘅數就叫孤獨數。但係有啲數未能證明佢係咪孤獨數，例如10。

例如

再舉一個例子，30同140組成友好對，因為30同140具有相同嘅「豐度」：

${\tfrac {\sigma (30)}{30}}={\tfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\tfrac {72}{30}}={\tfrac {12}{5}}$

${\tfrac {\sigma (140)}{140}}={\tfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\tfrac {336}{140}}={\tfrac {12}{5}}.$

數字2480、6200同40640都係呢個「俱樂部」嘅成員，因為佢哋各自嘅「豐度」都係12/5。

對於奇數數字友好嘅示例，請考慮135同819（「豐度」16/9）。仲存在一奇一偶「友好」嘅情況，例如42同544635（「豐度」16/7）。奇數個「朋友」可能細過偶數嗰個，例如84729645同155315394（「豐度」896/351）。

平方數可以係友好數，例如693479556（平方數26334）同8640都具有「豐度」127/36（呢個示例已由Dean Hickerson證明），立方數都可以係友好數，例如3375（立方數15）同6975都具有「豐度」416/225。

較細嘅n

藍色數字被證明係友好嘅（OEIS數列A074902），紅色數字被證明係孤獨嘅（OEIS數列A095739），如果n同$\sigma (n)$互質，咁佢就係孤獨數（OEIS數列A014567），不過呢度未將佢油成深色。其他號碼嘅狀態未知，並且高亮黃色顯示。

n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
1	1	1		37	38	38/37		73	74	74/73		109	110	110/109		145	180	36/29
2	3	3/2		38	60	30/19		74	114	57/37		110	216	108/55		146	222	111/73
3	4	4/3		39	56	56/39		75	124	124/75		111	152	152/111		147	228	76/49
4	7	7/4		40	90	9/4		76	140	35/19		112	248	31/14		148	266	133/74
5	6	6/5		41	42	42/41		77	96	96/77		113	114	114/113		149	150	150/149
6	12	2		42	96	16/7		78	168	28/13		114	240	40/19		150	372	62/25
7	8	8/7		43	44	44/43		79	80	80/79		115	144	144/115		151	152	152/151
8	15	15/8		44	84	21/11		80	186	93/40		116	210	105/58		152	300	75/38
9	13	13/9		45	78	26/15		81	121	121/81		117	182	14/9		153	234	26/17
10	18	9/5		46	72	36/23		82	126	63/41		118	180	90/59		154	288	144/77
11	12	12/11		47	48	48/47		83	84	84/83		119	144	144/119		155	192	192/155
12	28	7/3		48	124	31/12		84	224	8/3		120	360	3		156	392	98/39
13	14	14/13		49	57	57/49		85	108	108/85		121	133	133/121		157	158	158/157
14	24	12/7		50	93	93/50		86	132	66/43		122	186	93/61		158	240	120/79
15	24	8/5		51	72	24/17		87	120	40/29		123	168	56/41		159	216	72/53
16	31	31/16		52	98	49/26		88	180	45/22		124	224	56/31		160	378	189/80
17	18	18/17		53	54	54/53		89	90	90/89		125	156	156/125		161	192	192/161
18	39	13/6		54	120	20/9		90	234	13/5		126	312	52/21		162	363	121/54
19	20	20/19		55	72	72/55		91	112	16/13		127	128	128/127		163	164	164/163
20	42	21/10		56	120	15/7		92	168	42/23		128	255	255/128		164	294	147/82
21	32	32/21		57	80	80/57		93	128	128/93		129	176	176/129		165	288	96/55
22	36	18/11		58	90	45/29		94	144	72/47		130	252	126/65		166	252	126/83
23	24	24/23		59	60	60/59		95	120	24/19		131	132	132/131		167	168	168/167
24	60	5/2		60	168	14/5		96	252	21/8		132	336	28/11		168	480	20/7
25	31	31/25		61	62	62/61		97	98	98/97		133	160	160/133		169	183	183/169
26	42	21/13		62	96	48/31		98	171	171/98		134	204	102/67		170	324	162/85
27	40	40/27		63	104	104/63		99	156	52/33		135	240	16/9		171	260	260/171
28	56	2		64	127	127/64		100	217	217/100		136	270	135/68		172	308	77/43
29	30	30/29		65	84	84/65		101	102	102/101		137	138	138/137		173	174	174/173
30	72	12/5		66	144	24/11		102	216	36/17		138	288	48/23		174	360	60/29
31	32	32/31		67	68	68/67		103	104	104/103		139	140	140/139		175	248	248/175
32	63	63/32		68	126	63/34		104	210	105/52		140	336	12/5		176	372	93/44
33	48	16/11		69	96	32/23		105	192	64/35		141	192	64/47		177	240	80/59
34	54	27/17		70	144	72/35		106	162	81/53		142	216	108/71		178	270	135/89
35	48	48/35		71	72	72/71		107	108	108/107		143	168	168/143		179	180	180/179
36	91	91/36		72	195	65/24		108	280	70/27		144	403	403/144		180	546	91/30

大嘅友誼數群

若果三個或三個以上嘅正整數，其因數函數除以自身嘅比值相等，噉呢啲正整數形成友誼數群（Friendly number club），目前仲未知係咪有由無限多個正整數組成嘅友誼數群。完全數嘅因數函數係自身嘅兩倍，因此所有完全數形成一個友誼數群，推測應該會有無限多個完全數（至少會同梅森質數嘅數量一樣多），但未被證明。