多重完全數

多重完全數（multiply perfect number）為一數學名詞，系一種廣義嘅完全數。

針對一自然數 $k$，自然數 $n$ 為 $k$ 重完全數嘅充份必要條件系 $n$ 所有正因數嘅和（即除數函數，$\sigma (n)$）等於 $n$ 嘅 $k$ 倍，此定義下，完全數嘅除數函數為本身嘅 $2$ 倍，因此系 $2$ 重完全數。不論 $k$ 嘅數值點解，$k$ 重完全數都屬於多重完全數。至2004年7月為止．已經搵到 $k$ 為 $11$ 嘅多重完全數。

可以證明：

• 針對一質數 $p$，若 $n$ 為 $p$ 重完全數且 $p$ 無法整除 $n$ ，則 $pn$ 為($p+1$)重完全數。因此可推得若整數n3重完全數，可被 $2$ 整除但唔得可被 $4$ 整除，其充份必要條件系 ${\frac {n}{2}}$ 需為奇數嘅完全數，至2012年12月為止，未發現任何奇數嘅完全數。

• 若 $3n$ 為 $4k$ 重完全數，且 $3$ 無法整除 $n$，則 $n$ 為 $3k$-重完全數。

最小嘅 $k$ 重完全數

以下列出 $k\leq 7$ 時，各 $k$ 值最小的 $k$ 重完全數（OEIS數列A007539）：

$k$	最小嘅 $k$ 重完全數	發現者
1	1	不可考
2	6	不可考
3	120	不可考
4	30240	勒內·笛卡兒，約喺1638年
5	14182439040	勒內·笛卡兒，約喺1638年
6	154345556085770649600	羅伯特·丹尼·卡邁克爾, 1907
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason, 1911

例如，$120$ 嘅除數函數滿足以下嘅關系：

$1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360=3\times 120$

$120$ 嘅除數函數為 $120$ 嘅三倍，因此為 $3$ 重完全數。

出面網頁

• The Multiply Perfect Numbers page
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers