和立方

和立方系數學公式嘅一種，佢屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。和立方系指一個數項，加上另一個數項後，總和嘅立方：

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

驗證

主驗證

和立方可直接計算驗證：

$(a+b)^{3}\,\!$

$=(a+b)(a+b)(a+b)\,\!$

$=a(a+b)(a+b)+b(a+b)(a+b)\,\!$

$=(a^{2}+ab)(a+b)+(ab+b^{2})(a+b)\,\!$

$=a(a^{2}+ab)+b(a^{2}+ab)+a(ab+b^{2})+b(ab+b^{2})\,\!$

$=a^{3}+a^{2}b+a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+ab^{2}+ab^{2}+b^{3}\,\!$

$=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

$(a+b)^{3}\,\!$

$=(a+b)(a+b)(a+b)\,\!$

$=a(a+b)(a+b)+b(a+b)(a+b)\,\!$

$=(a^{2}+ab)(a+b)+(ab+b^{2})(a+b)\,\!$

$=a(a^{2}+ab)+b(a^{2}+ab)+a(ab+b^{2})+b(ab+b^{2})\,\!$

$=a^{3}+a^{2}b+a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+ab^{2}+ab^{2}+b^{3}\,\!$

$=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

以上計算方式便可證明：$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

運用和平方

和立方亦可運用和平方驗證，首先要知和平方嘅公式系：

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

然後，利用和平方計算出和立方：

$(a+b)^{3}\,\!$

$=(a+b)^{2}(a+b)\,\!$

$=(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)\,\!$

$=a(a^{2}+2ab+b^{2})+b(a^{2}+2ab+b^{2})\,\!$

$=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}\,\!$

$=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

以上計算方式便可證明：$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$

同二項式嘅關係

呢個係 $a=b=1$ 而 $n=3$ 嘅情景，睇二項式定理。