梯度定理

梯度定理（gradient theorem），係向量微積分裏面嘅一個定理，亦都係微積分基本定理拓展咗之後對於路徑積分嘅一個廣義版本。

定理

根據梯度定理，如果有一個喺 $\mathbb {R} ^{n}$ 向量空間嘅連續可微分標量函數 $\phi :\mathbf {U} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ，對於任何喺 $\mathbf {U}$ 裏面起點係 ${\vec {p}}$ 同埋終點係 ${\vec {q}}$ 嘅曲線 $\gamma$ ，有：

$\int _{\gamma }\nabla \phi ({\vec {r}})\cdot d{\vec {r}}=\phi ({\vec {q}})-\phi ({\vec {p}})$

其中 $\nabla \phi ({\vec {r}})$ 就係 $\phi$ 嘅梯度，係一個向量場。

證明

將 $\mathbb {R} ^{n}$ 裏面嘅所有維度分別叫做 $x_{i}$ ，所有單位向量分別叫做 ${\vec {e_{i}}}$ ，其中 $i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n$ 。噉樣 $\phi$ 嘅全微分可以寫做：

$d\phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\phi }}{\partial x_{i}}}dx_{i}$

喺 $\mathbb {R} ^{n}$ 裏面梯度嘅定義係：

$\nabla \phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\phi }}{\partial x_{i}}}{\vec {e_{i}}}$

而位置向量同佢嘅微分嘅定義分別係：

${\begin{aligned}&{\vec {r}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e_{i}}}\\&d{\vec {r}}=\sum _{i=1}^{n}dx_{i}{\vec {e_{i}}}\end{aligned}}$

所以有：

$d\phi =\nabla \phi \cdot d{\vec {r}}$

於是有：

${\begin{aligned}&\int _{\gamma }\nabla \phi ({\vec {r}})\cdot d{\vec {r}}\\&=\int _{\phi ({\vec {p}})}^{\phi ({\vec {q}})}d\phi ({\vec {r}})\end{aligned}}$ （積分上下界轉換）

${\begin{aligned}&=[\phi ]_{\phi ({\vec {p}})}^{\phi ({\vec {q}})}\\&=\phi ({\vec {q}})-\phi ({\vec {p}})\end{aligned}}$

證完。

應用