梯度定理

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梯度定理gradient theorem),係向量微積分裏面嘅一個定理,亦都係微積分基本定理拓展咗之後對於路徑積分嘅一個廣義版本。

定理[編輯]

根據梯度定理,如果有一個喺 向量空間嘅連續可微分標量函數 ,對於任何喺 裏面起點係 同埋終點係 嘅曲線 ,有:

其中 就係 梯度,係一個向量場

證明[編輯]

裏面嘅所有維度分別叫做 ,所有單位向量分別叫做 ,其中 。噉樣 全微分可以寫做:

裏面梯度嘅定義係:

位置向量同佢嘅微分嘅定義分別係:

所以有:

於是有:

(積分上下界轉換)

證完。

應用[編輯]

內文:保守向量場