黑格納數

黑格納數（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數嘅正整數：其虛二次域Q(√−d)嘅類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環Q(√−d)嘅整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)嘅數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)嘅整數環唔系唯一分解整環，因為6可以以兩種方式喺 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積：$2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$。</ref>。

黑格納數只有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173）

高斯曾估測符合上述特性嘅數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納提出唔完整嘅證明，後尾由哈羅德·斯塔克提出完整嘅證明，即為斯塔克–黑格納定理。

歐拉嘅質數多項式

歐拉嘅質數多項式如下：

$n^{2}+n+41,\,$

喺n = 1, ..., 40時會產生唔同嘅40個質數，呢相關於黑格納數163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，$n$攞值為1,... 40和以下嘅多項式

$n^{2}+n+41,\,$

喺$n=0,\dots ,p-2$時，多項式為質數嘅充份必要條件為其判咪式$1-4p$等於負嘅黑格納數。

（若代入$p-1$會得到$p^{2}$一定唔系質數，因此最大值只能攞到$p-2$）

1, 2和3唔符合要求，因此符合條件嘅黑格納數為$7,11,19,43,67,163$，也就表示可以讓歐拉公式產生質數嘅p為$2,3,5,11,17,41$，呢些數字被弗朗索瓦·勒·利奧奈稱為歐拉嘅幸運數。