黑格納數

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黑格納數(Heegner number)指滿足以下性質,非平方數嘅正整數:其虛二次域Q(√−d)嘅類數為1,亦即其整數環唯一分解整環Q(√−d)嘅整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)嘅數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)嘅整數環唔系唯一分解整環,因為6可以以兩種方式喺 中表成整數乘積:。</ref>[1]

黑格納數只有以下九個: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS中嘅數列A003173

高斯曾估測符合上述特性嘅數只有九個,但未提出證明,1952年庫爾特·黑格納英文Kurt Heegner提出唔完整嘅證明,後尾由哈羅德·斯塔克提出完整嘅證明,即為斯塔克–黑格納定理英文Stark–Heegner theorem

歐拉嘅質數多項式[編輯]

歐拉嘅質數多項式如下:

n = 1, ..., 40時會產生唔同嘅40個質數,呢相關於黑格納數163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式,攞值為1,... 40和以下嘅多項式

時,多項式為質數嘅充份必要條件為其判咪式等於負嘅黑格納數。


(若代入會得到一定唔系質數,因此最大值只能攞到

1, 2和3唔符合要求,因此符合條件嘅黑格納數為,也就表示可以讓歐拉公式產生質數嘅p為,呢些數字被弗朗索瓦·勒·利奧奈英文François Le Lionnais稱為歐拉嘅幸運數英文lucky numbers of Euler[2]


參考資料[編輯]

  1. Conway, John Horton (1996). The Book of Numbers. Springer. p. 224. ISBN 0-387-97993-X. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
  2. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.