繩圖

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範疇論入面,繩圖係攞嚟畫出幺半範疇入面嘅態射或者2-範疇入面嘅2維胞

定義[編輯]

透過Poincaré對偶性,繩圖嘅主要目的就係用 2-d 維嘅結構嚟到代表 d 維嘅結構。 故此:

  • 物件係用平面嘅某個區域嚟代表
  • 一維胞 係用直線一段嚟到代表 f ,段嘢叫做「繩」,而係噉樣去間開塊平面做兩塊(左面對應 A 、右面對應 B )。
  • 二維胞 係用唔同繩嘅交叉點嚟代表嘅,其中嘅 fg 就分別係用交叉點以上同以下嘅一啲繩嚟代表嘅。

噉樣畫法呢,二維胞嘅平行構圖就等同打橫噉黐埋啲圖,而二維胞嘅循序構圖就等同打棟噉黐埋啲圖。講得白啲就係可以將啲繩圖當lego噉砌埋一齊嚟到連埋啲二維胞。

交換圖同繩圖之間嘅對偶性
交換圖(左手邊)同繩圖(右手邊)之間嘅對偶性

例子[編輯]

假設我哋有對伴隨函子 ,喺兩個範疇 之間嘅、有分別做左伴隨函子同右伴隨函子、同埋有 呢兩個自然交換嚟分別做單位元餘單位元。噉樣嘅話呢,對應嘅自然交換就會係以下嘅三幅繩圖:

String diagram of the unit
單位元嘅繩圖
String diagram of the counit
餘單位元嘅繩圖
String diagram of the identity 2-cell
二維胞恒等式嘅繩圖

對應恆等函子嘅繩係可以用虛線嚟畫嘅,不過通常唔使畫。一對伴隨函子係需要以下嘅等式:

第一個呢就可以噉樣畫出嚟:

Diagrammatic representation of the equality
等式 嘅圖表


其他畫圖表語言[編輯]

態射喺啲幺半範疇入面係可以用繩圖嚟畫嘅[1],因為你可以當一個嚴格幺半範疇係一個得一個物件嘅2-範疇(所以淨係會得一款平面區域)同埋 Mac Lane 嘅嚴格化定理話乜嘢嘅幺半範疇都係幺半噉等同一個嚴幺半範疇嘅。畀幺半範疇用嘅繩圖語言係可以延伸到其他有唔同結構嘅範疇度,譬如辮性幺半範疇劍性範疇[2]等等,亦都同辮性幺半範疇[3]絲帶範疇[4]嘅幾何圖形係有𪐀褦嘅。至於量子運算呢,呢科入面係有幾種繩圖語言係用嚟喺度推理量子位元(亦稱Q必)之間嘅線性映射,其中至出名嘅就係ZX運算

參攷[編輯]

  1. Joyal, André; Street, Ross (1991). "The geometry of tensor calculus, I" (PDF). Advances in Mathematics. 88 (1): 55–112. doi:10.1016/0001-8708(91)90003-P. ISSN 0001-8708.
  2. Selinger, P. (2010). "A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories" (PDF). 出自 Bob Coecke (編). New Structures for Physics. Lecture Notes in Physics. 813. Springer Berlin Heidelberg. pp. 289–355. arXiv:0908.3347. Bibcode:2009arXiv0908.3347S. doi:10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN 978-3-642-12820-2.
  3. Joyal, A.; Street, R. (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics. 102 (1): 20–78. doi:10.1006/aima.1993.1055. ISSN 0001-8708.
  4. Shum, Mei Chee (1994-04-11). "Tortile tensor categories". Journal of Pure and Applied Algebra. 93 (1): 57–110. doi:10.1016/0022-4049(92)00039-T. ISSN 0022-4049.

出面網頁[編輯]