羣範疇

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代數入面,Grp(或者Gp[1])範疇入面嘅物件就係所有嘅,而態射就係羣同態,所以呢個範疇係一個具體範疇。研究呢個範疇嘅學問就叫做羣論

同其他範疇嘅關係[編輯]

Grp上面有兩個遺忘函子,分別係M: GrpMon打去幺半羣範疇同埋U: GrpSet打去集合範疇。M有兩個伴隨函子,一個係右伴隨 I: MonGrp,將每個么半羣打去由可逆元素組成嘅子么半羣,另一個係左伴隨 K: MonGrp,將每個么半羣打去佢嘅Grothendieck羣嗰到。另外,遺忘函子U: GrpSet有個左伴隨函子,係複合函子 KF: SetMonGrp,其中F係由集合範疇打去么半羣範疇嘅自由函子;成個函子KF會將一個集S打去S生成嘅自由羣

範疇性質[編輯]

Grp入面嘅單同態就係單射同態,滿同態就係滿射同態,而同構就係雙射同態。

Grp又係完備又係餘完備嘅,入面嘅範疇積正正就係羣直積餘積就係羣嘅自由積零物件就係平凡羣(只有單位元一個元素嘅羣)。

Grp入面每一個態射f: G→H都有範疇論嘅核,就係平時羣入面嘅,亦都有範疇論嘅餘核,就係H對f(G)嘅正規閉包,但係,Grp入面嘅單態射唔一定係佢餘核嘅核,所以Grp唔係阿貝爾範疇

唔係加性範疇所以唔係阿貝爾範疇[編輯]

阿貝爾範疇AbGrp滿子範疇Ab係一個阿貝爾範疇,但係Grp唔係。事實上,Grp加性範疇都唔係,因為無一個好嘅方法去定義兩個羣態射嘅「加法」,下面呢個例子說明咗點解定義唔到:

三階對稱羣S3打去自己嘅態射有10個元素:1個係將所有元素打哂去恆等元素(叫呢個態射做z),3個係將個羣投影落去一個二階子羣到(有3個二階子羣),6個係自同構。如果Grp係加性範疇嘅話,呢個集E就係一個(用複合態射嚟做乘法),喺一個環入面,零元素乘任何其他元素都係佢自己,即係話,,睇得出,z係符合呢個條件嘅,即係話,z就係0元素。但係,亦都睇得出無任何兩個非零元素乘埋會得出z,即係話呢個有限環係無零因子嘅。無零因子嘅環一定係一個,但係呢個世界係無一個場有10個元素嘅,因為有限場嘅基數一定係質數次方。呢個矛盾證明咗喺Grp上面係定義唔到態射嘅加法,所以Grp唔係一個加性範疇。

正合序列[編輯]

Grp入面係可以講正合序列(exact sequence)嘅,而且某啲喺阿貝爾範疇入面啱嘅定理喺Grp入面都啱,例如九引理五引理等等,但係Grp入面嘅蛇引理係唔啱嘅。

Grp是一個正則範疇(regular category)。

參考[編輯]

  1. Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. p. 20. ISBN 1-4020-1961-0.