羣範疇

喺代數入面，Grp（或者Gp^[1]）範疇入面嘅物件就係所有嘅羣，而態射就係羣同態，所以呢個範疇係一個具體範疇。研究呢個範疇嘅學問就叫做羣論。

同其他範疇嘅關係[編輯]

Grp上面有兩個遺忘函子，分別係M: Grp → Mon打去幺半羣範疇同埋U: Grp → Set打去集合範疇。M有兩個伴隨函子，一個係右伴隨 I: Mon → Grp，將每個么半羣打去由可逆元素組成嘅子么半羣，另一個係左伴隨 K: Mon → Grp，將每個么半羣打去佢嘅Grothendieck羣嗰到。另外，遺忘函子U: Grp → Set有個左伴隨函子，係複合函子 KF: Set→Mon→Grp，其中F係由集合範疇打去么半羣範疇嘅自由函子；成個函子KF會將一個集S打去S生成嘅自由羣。

範疇性質[編輯]

Grp入面嘅單同態就係單射同態，滿同態就係滿射同態，而同構就係雙射同態。

Grp又係完備又係餘完備嘅，入面嘅範疇積正正就係羣直積，餘積就係羣嘅自由積，零物件就係平凡羣（只有單位元一個元素嘅羣）。

Grp入面每一個態射f: G→H都有範疇論嘅核，就係平時羣入面嘅核，亦都有範疇論嘅餘核，就係H對f(G)嘅正規閉包嘅商，但係，Grp入面嘅單態射唔一定係佢餘核嘅核，所以Grp唔係阿貝爾範疇。

唔係加性範疇所以唔係阿貝爾範疇[編輯]

阿貝爾範疇Ab係Grp嘅滿子範疇，Ab係一個阿貝爾範疇，但係Grp唔係。事實上，Grp連加性範疇都唔係，因為無一個好嘅方法去定義兩個羣態射嘅「加法」，下面呢個例子說明咗點解定義唔到：

三階對稱羣S₃打去自己嘅態射 $E=\operatorname {Hom} (S_{3},S_{3})$ 有10個元素：1個係將所有元素打哂去恆等元素（叫呢個態射做z），3個係將個羣投影落去一個二階子羣到（有3個二階子羣），6個係自同構。如果Grp係加性範疇嘅話，呢個集E就係一個環（用複合態射嚟做乘法），喺一個環入面，零元素乘任何其他元素都係佢自己，即係話， $\forall x\in E,0x=x0=0$ ，睇得出，z係符合呢個條件嘅，即係話，z就係0元素。但係，亦都睇得出無任何兩個非零元素乘埋會得出z，即係話呢個有限環係無零因子嘅。無零因子嘅環一定係一個場，但係呢個世界係無一個場有10個元素嘅，因為有限場嘅基數一定係質數嘅次方。呢個矛盾證明咗喺Grp上面係定義唔到態射嘅加法，所以Grp唔係一個加性範疇。