幺半範疇
閱讀設定
呢篇文要由頭寫過。 請用討論頁商量細節。 |
幺半範疇(monoidal category)係有二元運算(「乘積」)嘅範疇,可以當做幺半羣嘅範疇化。
一種常見嘅幺半範疇係張量範疇:渠同時有直和同張量積,可當做環嘅範疇化。
定義
[編輯]- 定義[1]
張量範疇係序列 (C, ◇ , α,1, λ ρ ),其中
- C 係一範疇;
- ◇ 係雙函子 (en:bifunctor): C x C ---> C: (U,V)|--->U◇V;
- αU,V,W: (U◇V)◇W ---> U◇(V◇W) 係一系列自然態射 (natural isomorphism),叫結合態射 (associativity morphism / associativity constraint);
- 1係 C 中一物,叫「單位物」;
- λU: 1◇ U ---> U;其中 U 係 C 中物; 係一系列自然態射 (natural isomorphism)
- 同樣,ρ V : V◇1--->V 係一系列自然態射;
同時,呢的結構符合:
- 五角型公理:
- 單位公理:
設
- C, C' 係兩幺半範疇
- 定義
幺半函子Φ:C--->C' 係一函子,保存住 C、C' 上兩種幺半結構。
Grothendieck羣
[編輯]嚴幺半範疇 (strict monoidal category)
[編輯]嚴幺半範疇 (strict monoidal category)[2] 係一幺半範疇,其中全部 ρ 同λ 態射都係恆等態射。
MacLane 一致性定理 (MacLane coherence theorem) [3] 話:每幺半範疇都等價於一嚴幺半範疇。
剛性(rigidity)
[編輯]重構定理
[編輯]參閱:田中-Krein對偶律
一般,若果有一Hopf代數,渠嘅表示形成一剛幺半範疇。
掉返轉頭,由一剛幺半範疇,我地可重構番個Hopf 代數。[4]
設
- r 係交換環
- M 係 r 上有限生成嘅射影模(projective modules)組成嘅範疇(例如:若 r 係一域,咁 M 入面嘅模就係 r 上嘅有限維線性空間);
- C 係範疇,基本上係細嘅 (即:C 等價於一細範疇);
- C 係 r-線性範疇;
- C 係剛硬阿貝爾幺半範疇;
- F : C---> M 係一正合(exact) 、忠實(faithful)、r-線性嘅幺半函子;
咁就
- 存在r 上嘅 Hopf代數 A 同埋 r-線性嘅 範疇 同構 C--->corepA,令到 (C--->corepA --->M) = F
- 其中 corep 係 r-射影、有限生成嘅 A-逆模(A-en:comodules)組成嘅範疇,
- corep ---> M 係無記性函子(forgetful functor)。
對偶物 (dual object)
[編輯]例
[編輯]辮範疇
[編輯]braid
纏繞
[編輯]纏繞 有向纏繞 絲帶纏繞
(擬)張量範疇 [(quasi-)tensor category]
[編輯]張量範疇
[編輯]擬張量範疇
[編輯]融合環(fusion ring)
[編輯]絲帶紐結不變量
[編輯]Jones多項式
[編輯]註
[編輯]- Saunders MacLane (1997),《Categories for the Working Mathematician》, (第二版;第一版 1971年), Springer Verlag, ISBN 0-387-98403-8 , pp. 161-...
- Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley, 《A Guide to Quantum Groups》, 劍橋,ISBN 0-521-55884-0 , pp. 136-...
- ↑ MacLane, p.161-; Chari/Pressley p.138-
- ↑ MacLane, p.161
- ↑ MacLane, p.257, Chari/Pressley, p.139
- ↑ Chari/Pressley, p.147-
- ↑ Chari/Pressley, pp.143-
- ↑ Chari/Pressley pp.149...
- ↑ Chari/Pressley p.152
- ↑ Chari/Pressley p.155
- ↑ Chari/Pressley p.161
- ↑ Chari/Pressley p.168