佩爾數

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佩爾數系一個自古以嚟就知嘅整數數列,由遞推關系定義,與斐波嗰契數類似。佩爾數呈指數增長,增長速率與白銀比嘅冪成正比。佢出依家2嘅算術平方根嘅近似值以及三角平方數嘅定義中,也出依家一啲組合數學嘅問題中。

定義[編輯]

佩爾數由以下嘅遞推關系定義:

也就系講,佩爾數嘅數列從0和1開始,以後每一個佩爾數都系前面嘅數嘅兩倍加上再前面嘅數。原幾個佩爾數系:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… (OEIS中嘅數列A000129)。

佩爾數也可以用通項公式嚟定義:

對於較大嘅n嘅項起主要作用,而嘅項則變得微乎其微。因此佩爾數約莫與白銀比嘅冪成正比。

第三種定義系以下嘅矩陣公式:

從呢啲定義中,可以推出或證明許多恆等式;例如以下嘅恆等式,與斐波嗰契數嘅卡西尼恆等式類似:

呢個恆等式系以上矩陣公式嘅直接結果(考慮矩陣嘅行列式)。

2嘅算術平方根嘅近似值[編輯]

佩爾數出依家2嘅算術平方根有理數近似值中。如果兩個大嘅整數xy佩爾方程嘅解:

咁佢哋嘅比就系嘅一個較精確嘅近似值。呢種形式嘅近似值嘅數列系:

其中每一個分數嘅分母系佩爾數,分子則系呢個數與前一個佩爾數嘅和。也就系講,佩爾方程嘅解具有嘅形式。系呢啲近似值中嘅第八個,喺公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀嘅古希臘數學家也知呢個近似值嘅數列;佢哋把呢個數列嘅分母和分子稱為「邊長和直徑數」,分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

呢啲近似值可以從連分數展開式推出:

攞呢個展開式嘅有限個項,便可以產生嘅一個近似值,例如:

素數和平方數[編輯]

佩爾素數系既系佩爾數又系素數嘅數。原幾個佩爾素數系:

2, 5, 29, 5741, …… (OEIS中嘅數列A086383)。

與斐波嗰契素數相似,僅當n本身系素數時才有可能系素數。

唯一嘅既系佩爾數又系平方數、立方數或任意整數次方嘅數系0, 1, 以及169 = 132

然而,佩爾數與三角平方數有密切嘅關系。佢哋出依家以下佩爾數嘅恆等式中:

等式嘅左面系平方數,等式嘅右邊系三角形數,因此系三角平方數。

Santana和Diaz-Barrero喺2006年證明咗佩爾數與平方數之間嘅另外一個恆等式,並證明咗從嘅所有佩爾數嘅和總系平方數:

例如,從嘅和系,系嘅平方。就系呢個和嘅平方根:

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… (OEIS中嘅數列A002315)。

勾股數[編輯]

邊長為整數嘅直角三角形,其直角邊幾乎相等,由佩爾數引出。

如果一個直角三角形嘅邊長為abc(必須滿足勾股定理a2+b2=c2),咁(a,b,c)稱為勾股數。Martin喺1875年描述,佩爾數可以用嚟產生勾股數,其中ab相差一個單位。呢個勾股數具有以下形式:

用呢種方法產生嘅勾股數嘅序列系:

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ……

佩爾-盧卡斯數[編輯]

佩爾-盧卡斯數由以下嘅遞推關系定義:

也就系講,數列中嘅原兩個數都系2,後面每一個數都系前一個數嘅兩倍加上再前面嘅一個數。呢個數列嘅原幾個項系(OEIS中嘅數列A002203):2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩爾-盧卡斯數嘅通項公式為:

呢啲數都系偶數,每一個數都系以上嘅近似值中嘅分子嘅兩倍。