佩爾數

佩爾數系一個自古以嚟就知嘅整數數列，由遞推關系定義，與斐波嗰契數類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與白銀比嘅冪成正比。佢出依家2嘅算術平方根嘅近似值以及三角平方數嘅定義中，也出依家一啲組合數學嘅問題中。

定義

佩爾數由以下嘅遞推關系定義：

P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

也就系講，佩爾數嘅數列從0和1開始，以後每一個佩爾數都系前面嘅數嘅兩倍加上再前面嘅數。原幾個佩爾數系：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。

佩爾數也可以用通項公式嚟定義：

P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.

對於較大嘅n， $\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}$ 嘅項起主要作用，而 $\scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}$ 嘅項則變得微乎其微。因此佩爾數約莫與白銀比 $\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})$ 嘅冪成正比。

第三種定義系以下嘅矩陣公式：

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.

從呢啲定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下嘅恆等式，與斐波嗰契數嘅卡西尼恆等式類似：

P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},

呢個恆等式系以上矩陣公式嘅直接結果（考慮矩陣嘅行列式）。

2嘅算術平方根嘅近似值

佩爾數出依家2嘅算術平方根嘅有理數近似值中。如果兩個大嘅整數x和y 系佩爾方程嘅解：

\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,

咁佢哋嘅比 ${\tfrac {x}{y}}$ 就系 $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ 嘅一個較精確嘅近似值。呢種形式嘅近似值嘅數列系：

1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots

其中每一個分數嘅分母系佩爾數，分子則系呢個數與前一個佩爾數嘅和。也就系講，佩爾方程嘅解具有 ${\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$ 嘅形式。 ${\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}$ 系呢啲近似值中嘅第八個，喺公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀嘅古希臘數學家也知呢個近似值嘅數列；佢哋把呢個數列嘅分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。