勾股定理

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勾股定理,又叫做勾股弦定理畢達哥拉斯定理(簡稱畢氏定理)、商高定理,係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方,即係數式:

證明[編輯]

呢個定理有好多方法去證明,方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思(Elisha Scott Loomis)嘅Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦餘弦函數嘅泰勒級數)嚟證明畢氏定理,但係,因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理,所以唔用得(睇循環論證)。

利用相似三角形嘅證法[編輯]

有好多畢氏定理嘅證明方式,都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例

為一個直角三角形,直角係角 。從點 畫上三角形嘅,並將個高同 嘅交叉點稱之為 。呢個新三角形 同原本嘅三角形 相似,因為喺兩個三角形都有一個直角(噉亦係由於「高」嘅定義),而兩個三角形都有 呢個共同角,由此可知第三隻角都係相等嘅。同樣道理, 都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係:

因為

所以

可以寫成

綜合呢兩個方程式,可以得到

換句話講:

歐幾里得嘅證法[編輯]

《幾何原本》入面嘅證明

歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設 為一個直角三角形,其中 係直角。由 點劃一直線至對邊,令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二,佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中,需要以下四個輔助定理:

  • 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊所夾嘅角相等,兩個三角形就係全等(SAS定理)。
  • 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
  • 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
  • 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積(據輔助定理3)。

證明嘅思路係:將上方嘅兩個正方形,透過等高同底嘅三角形,以佢嘅面積關係,轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

證明輔助圖2

證明如下:

  1. 為一個直角三角形,直角係
  2. 個邊分別係 同埋 ,依次序畫成四方形
  3. 畫出過點 嘅平行線。條線會分別同 直角喺 相交。
  4. 分別連接 ,形成兩個三角形
  5. 都係直角,因此 都係線性對應嘅, 都係一樣。
  6. 都係直角,所以 等於
  7. 因為 分別等於 ,所以 一定同 相等。
  8. 因為 成同一直綫,所以四方形 面積係 兩倍。
  9. 因為 成同一直綫,所以正方形 面積係 兩倍。
  10. 因此四邊形 必定有相同嘅面積
  11. 同埋,四邊形 必定有相同嘅面積
  12. 將呢兩個結果相加,
  13. 由於
  14. 由於 係正方形,因此

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅[1]

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理,而且由呢個定理可以推出平行公理,好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件,一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法[編輯]

以面積減算法證明
以重新排列法證明

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係。將四個相等嘅三角形移除之後,左邊剩底嘅面積就係,右邊剩底嘅面積係,兩者相等。

畢氏定理嘅逆定理[編輯]

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法,其中AB=c係最長邊:

  • 如果 係直角三角形。
  • 如果 係銳角(重要再檢驗 同埋 後,先可以確認 係唔係銳角三角形)。
  • 如果 ,△ABC係鈍角三角形。

逆定理嘅證明[編輯]

畢氏定理嘅逆定理嘅證法數明顯少過畢氏定理嘅證法。以下係一啲常見證法。

同一法[編輯]

構造,使

根據畢氏定理,,從而 (SSS)。

因此,

餘弦定理[編輯]

根據餘弦定理,。由於,故,從而

相似三角形[編輯]

喺AB邊上截取點D令

中,

從而,,以及

另一方面,,故此由知,

因此,,所以

參考[編輯]

  1. 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著,2006年12月19號睇