商空間 (線性代數)

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線性代數入面,一個向量空間對佢嘅一個子空間係一個新嘅向量空間,作用就好似將壓做一點咁。得到嘅空間叫做商空間,寫做,英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎,喺幾何學入邊,睇上同調(cohomology)、譜序列(spectral sequence)等等都要用到商空間嚟定義,分析入邊嘅Lp空間都要用商空間嚟定義。

定義[編輯]

呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作(construction)。[1]係場上邊嘅一個向量空間嘅一個子空間。喺上邊定義一個等價關係如下:若且唯若,換句話講,若果喺 入邊搵到支向量 ,令 嘅話, 就係有關係。由呢個定義睇得出 入邊嘅所有向量都同零向量有關係,亦即係話 入邊嘅所有向量都同 向量喺同一個等價類對應嘅等價類通常寫做,因為佢可以寫做

商空間集合嘅定義就係,即係呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法向量加法係咁樣定義嘅:[2][3]

好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表,即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令成為一個向量空間,其中係入邊嘅零向量。

打去等價類嗰個映射叫商映射(quotient map)。

另一個講法係,商空間係所有同平行仿射空間組成嘅集。[4]

例子[編輯]

平面(二維空間)對一維子空間嘅商

歐幾里得平面入邊一條穿過原點嘅直線,咁商空間可以睇做入邊所有同平行嘅線形成嘅空間,即係話入邊嘅每一粒元素都係入邊同平行嘅一條直線。如果喺入邊揀一條同唔平行而且穿過原點嘅直線嘅話,對入邊每一點,都有一條直線穿過而且同平行,呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇,我哋話參數化咗同平行嘅直線,而事實上係同構於)。同樣地,如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話,都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少,我哋睇n-維歐幾里得空間對佢頭標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商(),n元組實數組成,而嗰個子空間(同同構)就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成:。喺呢個商入邊,入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾個座標係一樣,所以可以用尾呢個座標嚟代表個商空間,而呢柞向量組成嘅空間好自然係同同構嘅,亦即係話,

再推廣少少,若果向量空間係兩個子空間嘅(內)直積嘅話:,咁商空間有一個自然同構,當然相反亦都有之間嘅自然同構。[5]

性質[編輯]

短正合序列嘅示意圖

有一個自然嘅滿同態(epimorphism),將向量打去佢嘅等價類,而佢個就係子空間。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟:

如果嘅子空間嘅話,嘅維度又叫做入邊嘅餘維度(codimension)。如果畀咗嘅一組嘅一組基嘅話,可以對嘅每一個元素搵返任意一個喺入邊嘅代表,再加埋入邊嘅向量就形成嘅一組基,所以嘅維度係嘅加埋。如果有限維嘅話就可以做減數:入邊嘅餘維度係嘅維度減嘅維度:[6][7]

係一個線性映射嘅核(寫做)裝住所有令嘅向量嘅一個子空間,向量空間嘅第一同構定理講話商空間入邊嘅映像係同構嘅,即係,咁就即刻有個推論:對有限維空間維度等於嘅維度(嘅零化度nullity)加嘅維度(嘅秩rank),即係所謂嘅秩—零化度定理(rank-nullity theorem)。

一個線性映射餘核(cokernel)嘅定義係商空間

萬有性質[編輯]

巴拿赫空間嘅商[編輯]

如果係一個巴拿赫空間係佢一個子空間,咁商空間都會係一個巴拿赫空間:佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗,而分析方面佢自動有一個自然嘅

如果完備嘅話,商空間帶住呢個範會自動係一個完備空間,所以係一個巴拿赫空間。

例子[編輯]

區間上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間,帶住sup範。設係嗰啲嘅函數組成嘅函數子空間,咁嘅話每個函數嘅等價類係完全由佢喺嗰個位嘅數值嚟決定,即係話商空間係同同構。

如果係一個Hilbert空間嘅話,商空間正交補空間同構。

推廣去局部凸空間[編輯]

一個局部凸空間(locally convex space)對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間[8]:如果係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由呢拃半範(seminorm)產生出嚟嘅話,設係一個閉子空間,並定義商空間上面嘅半範

就係一個局部凸空間,而且拓樸結構係商拓樸

喺呢個之上,若果可度量化(metrizable)嘅話,都係;若果Fréchet嘅話,都係。[9]

應用[編輯]

定義Lp空間[編輯]

Dirichlet函數,佢積出嚟係0,所以喺空間入邊,喺空間入邊佢同0函數一樣。

分析學入邊,有一個好重要嘅概念,就係空間。佢其實就係一啲p-可積函數,但係如果兩個函數嘅差積出嚟係嘅話就當做一樣。具體啲嚟講,假如畀咗一個測度空間,定義做裝住所有符合嘅函數嘅集合,自動會係一個向量空間,而事實上佢直程係一個半範空間係一個半範。佢唔係一個,而且若且唯若幾乎到到(almost everywhere)都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間:設,咁商空間帶著就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間,所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。

定義上同調[編輯]

睇埋[編輯]

參考[編輯]

  1. Halmos (1974) pp. 33-34 §§ 21-22
  2. Katznelson & Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4
  3. Roman (2005) p. 75-76, ch. 3
  4. Axler (2015) p. 95, § 3.83
  5. Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 1
  6. Axler (2015) p. 97, § 3.89
  7. Halmos (1974) p. 34, § 22, Theorem 2
  8. Dieudonné (1976) p. 65, § 12.14.8
  9. Dieudonné (1976) p. 54, § 12.11.3

書目[編輯]

  • Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (第3rd版). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Dieudonné, Jean (1976), Treatise on Analysis, 2, Academic Press, ISBN 978-0122155024
  • Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (第2nd版). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
  • Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics (第2nd版). Springer. ISBN 0-387-24766-1.