泊淞分佈

泊淞分佈（英文：Poisson distribution；法文：Loi de Poisson）係種概率分佈，可以描寫隨機嘅自然現象嘅頻率，例如一段時間（一年、一個鐘）或者空間之內某種嘢（旋風、收到電話、地震、鯊魚咬人）嘅發生次數。泊淞隨機變數（Poisson random variable）, X,條分佈式(pdf)係

• $f_{X}(k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$，其中 k 係次數， $\lambda$係平均值(有時寫做$\mu$)。

來龍去脈

泊淞分佈可以話係二項分佈同常態分佈嘅過渡函數。

當二項分佈嘅試驗次數(n)越大，圖形睇起嚟就越密，越似平滑嘅鐘形。

不妨令 n 趨向無限大，即係 $\lim _{n->\infty }{{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}$。

因為二項分佈嘅期望值 $\mu =np$，所以 $p={\frac {\mu }{n}}$。

又因為 n 趨向無限大，所以成功機率 $p=\lim _{n->\infty }{\frac {\mu }{n}}=0$，而失敗機率 $q=1-p=1$。

替換原式 $\lim _{n->\infty }{{\binom {n}{k}}({\frac {\mu }{n}})^{k}(1-{\frac {\mu }{n}})^{n-k}}$，入面 ${\binom {n}{k}}$ 趨向 $n^{k} \over k!$。

變咗 $\lim _{n->\infty }{{\frac {n^{k}}{k!}}{\frac {\mu ^{k}}{n^{k}}}(1-{\frac {\mu }{n}})^{n-k}}$。

簡化做 $\lim _{n->\infty }{{\frac {\mu ^{k}}{k!}}(1-{\frac {\mu }{n}})^{n-k}}$。

前面同 n 冇關抽出，後面用指數律分拆，變咗${{\frac {\mu ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n->\infty }(1-{\frac {\mu }{n}})^{n}(1-{\frac {\mu }{n}})^{-k}}$。

$(1-{\frac {\mu }{n}})^{-k}$ 趨向 $1$，而$(1-{\frac {\mu }{n}})^{n}$ 趨向 $e^{-\mu }$。

最後得到嘅新函數就係 $f(k)=e^{-\mu }{\frac {\mu ^{k}}{k!}}\ ,\ (\mu =\lambda )$，呢個就係泊淞分佈。

性質

• 驗算機會率加埋係咪等於1：條式嘅自變數係k=0,1,2,...(因為n趨向無限大，所以k冇上限) 所有情況夾埋即係 $\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }=1$。
• 泊淞分佈嘅期望值係 $np=\mu =\lambda$ 。
• 泊淞分佈嘅標準差係 ${\sqrt {npq}}={\sqrt {(np)\cdot (1-p)}}={\sqrt {\mu \cdot 1}}={\sqrt {\mu }}={\sqrt {\lambda }}$。

睇埋

• 二項分佈
• 常態分佈

出面網頁

• [1]