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期望值

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大數定律:同一場概率實驗做咗好多次之後,個平均結果會接近個期望值。

期望值粵拼kei4 mong6 zik6),又或者叫期待值,係概率論統計講到嘅概念。期望值係加權平均數,係每個數據嘅可能數值同佢出現嘅機率乘埋出嘅數。通常係用 嚟表示期望值函數。期望值嘅單位同數據單位相同[1]。簡化講條式係

期望值就好似將隨機試驗喺相同情況下重複做好多次,同所有可能嘅狀態計平均後得出嘅結果。用日常用語講,呢個值可以大致理解為「期望或者預期」平均嚟講會出咩數值。

期望值呢個概念幾有實用價值:經濟學等領域分析人類決策,好多時都會用期望值嚟評估一個選項有幾「理想」;而且某啲遊戲當中嘅決策,都會用到期望值嘅概念。

基礎定義

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内文:概率論統計學

期望值(簡稱 EV [註 1])係概率論當中一個重要概念。是但攞一個隨機變數(譬如係擲骰仔得出嘅點數)嚟睇,個變數嘅期望值可以大致理解為佢「平均會出咩結果」。精確啲講,期望值有具體嘅數學定義

離散情況

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假設個隨機變數係離散(簡單講即係可能數值嘅數量有限)嘅,噉個變數嘅期望值係[2][註 2]

喺呢個線性函數之中:

  • 係個離散隨機變數;
  • 係隨機變數第 個可能數值;
  • 出現嘅機率。

舉例說明,假想依家擲一粒公平[註 3]六面骰,每次擲骰得出嘅點數)嘅期望值係 3.5 咁多,計法如下:

雖然 3.5 係點數嘅期望值,但呢個數字唔係一個可能結果,擲骰嘅人永遠都唔會擲到呢個數。

而設想而家擲公字,擲到公同字嘅機會率都係 咁多,如果擲到公有 10 分,擲到字冇分,噉分數嘅期望值就係

咁多分。

連續情況

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假如 連續變數(簡單講即係可能數值嘅數量理論上無限咁多個),期望值公式就會用到微積分當中嘅積分,變成[3]

噉嘅樣,其中 概率密度函數

應用例子

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呢幅相影到有個人參加 TCG 公開賽。佢要出邊張牌至可以得益(贏嘅機率)有咁大得咁大呢?

期望值有相當廣泛嘅應用價值。好多領域計嘅數都會用到期望值。

古典力學

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睇埋:重心

古典力學中,重心呢個概念同期望值計法好相似。重心係指一件物體或者系統內,啲質量平均分佈喺嗰度嘅位。喺一個有若干粒粒子嘅系統 Pi, i = 1, ..., n 裡便,設每粒粒子都帶有質量 mi 而位置係 ri, i = 1, ..., n,噉重心點 R坐標位置可以噉計[4]

決策研究

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睇埋:效益

決策相關嘅理論研究,不時會用到期望值:經濟學心理學等領域嘅研究,成日都會分析人類點樣做決策——要揀邊個選項,先可以令到自己嘅所得最大化?呢種分析好多時都會用期望值嘅概念嚟衡量「邊個選項先係最佳嘅」;簡單噉諗,假想有一個人喺有不確定性[註 4]嘅情況下做決定,佢可以同每個選項嘅效益函數計返期望值,得知嗰個選項「預期會帶嚟幾多利益」而帶嚟最高期望利益嗰個選項,就係最佳選項[5][6]

一擲千金

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一擲千金》係一個受歡迎嘅遊戲節目,多個國家或地區(包括香港英國)都有人玩。

呢個遊戲一個版本係噉嘅:遊戲開始嗰時,莊家會畀參加者睇若干個神秘箱,而且參加者仲可以見到獎品池裡便有若干個金額,每個金額都對應某個箱,但參加者唔知邊個打邊個;參加者第一樣要做嘅,就係由啲神秘箱當中揀一個,佢暫時唔會知呢個箱入便嘅係邊個金額。之後,參加者就要逐步噉打開其餘嘅箱,每次打開一個箱佢都會得知個箱內嘅係邊個金額,莊家跟住就會將嗰個金額由獎品池中剔除,即係話參加者會立即得知邊個金額唔係自己初頭揀咗個箱嘅;每揀幾次,莊家就會提供現金交易,參加者要選擇接受莊家嘅交易,定係堅持繼續開箱。去到最後,假如參加者一路將啲箱冚唪唥開晒,佢就會得到初頭個箱內嘅金額咁多嘅錢。

喺呢個遊戲入面,期望值起到重大作用,因為參加者可以計自己個箱內有嘅獎金嘅預期值。計法係[7]

如果莊家提出嘅交易金額低過呢度計到嘅期望值,玩家理應要拒絕交易,因為佢個箱入面價值理論上比較高。相反,如果莊家提供嘅金額高過期望值,玩家就理應要接受交易,確保獲利。例如假設參加者玩到淨低五個箱,而淨低嘅金額分別係 $1, $10, $50, $1,000 同 $100,000,噉佢哋可以計吓期望值[8]

假想莊家出價 $15,000,理論上玩家應該拒絕[註 5]。由此可見,期望值嘅概念幫助玩家用更理性嘅方式分析選擇[註 6]

睇埋

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註釋

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  1. 取自英文expected value
  2. 呢條式用咗加總數學符號
  3. 公平:意即冇出千冇做手腳。
  4. 有不確定性,所以就要用概率嘅概念。
  5. 事實係報告指,莊家為咗引參加者繼續玩落去,會特登將交易金額設到低過期望值。
  6. 但由於人對風險嘅判斷受眾多心理因素影響,實際決策未必會依賴數學計算。

引咗

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  1. Edwards, A.W.F (2002). Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea (2nd ed.). JHU Press.
  2. Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (Third edition of 1979 original ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc.
  3. Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probability, random variables, and stochastic processes (Fourth edition of 1965 original ed.). New York: McGraw-Hill. Section 5-3; Ross 2019, Section 2.4.2.
  4. Bai, Linge; Breen, David (2008). "Calculating Center of Mass in an Unbounded 2D Environment". Journal of Graphics, GPU, and Game Tools. 13 (4): 53-60.
  5. 10.3 Expected Value. Press Books.
  6. Morgenstern, O., & Von Neumann, J. (1953). Theory of games and economic behavior. Princeton university press.
  7. Shifflet, Daniel R. (Spring 2011). "Is Deal or No Deal Cheating Its Contestants?". Ohio Journal of School Mathematics (63): 5-10.
  8. "Formula for offers in the NBC online version of Deal or No Deal". Dave Gentile's official website.

外拎

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