期望值

期望值(粵拼:kei4 mong6 zik6),又或者叫期待值,係概率論同統計講到嘅概念。期望值係加權平均數,係每個數據嘅可能數值同佢出現嘅機率乘埋出嘅數。通常係用 嚟表示期望值函數。期望值嘅單位同數據單位相同[1]。簡化講條式係
期望值就好似將隨機試驗喺相同情況下重複做好多次,同所有可能嘅狀態計平均後得出嘅結果。用日常用語講,呢個值可以大致理解為「期望或者預期」平均嚟講會出咩數值。
期望值呢個概念幾有實用價值:經濟學等領域分析人類嘅決策,好多時都會用期望值嚟評估一個選項有幾「理想」;而且某啲遊戲當中嘅決策,都會用到期望值嘅概念。
基礎定義
[編輯]期望值(簡稱 EV [註 1])係概率論當中一個重要概念。是但攞一個隨機變數(譬如係擲骰仔得出嘅點數)嚟睇,個變數嘅期望值可以大致理解為佢「平均會出咩結果」。精確啲講,期望值有具體嘅數學定義。
離散情況
[編輯]假設個隨機變數係離散(簡單講即係可能數值嘅數量有限)嘅,噉個變數嘅期望值係[2][註 2]:
喺呢個線性函數之中:
- 係個離散隨機變數;
- 係隨機變數第 個可能數值;
- 係 出現嘅機率。
舉例說明,假想依家擲一粒公平[註 3]嘅六面骰,每次擲骰得出嘅點數()嘅期望值係 3.5 咁多,計法如下:
雖然 3.5 係點數嘅期望值,但呢個數字唔係一個可能結果,擲骰嘅人永遠都唔會擲到呢個數。
而設想而家擲公字,擲到公同字嘅機會率都係 咁多,如果擲到公有 10 分,擲到字冇分,噉分數嘅期望值就係
- 咁多分。
連續情況
[編輯]假如 係連續變數(簡單講即係可能數值嘅數量理論上無限咁多個),期望值公式就會用到微積分當中嘅積分,變成[3]:
噉嘅樣,其中 係概率密度函數。
應用例子
[編輯]期望值有相當廣泛嘅應用價值。好多領域計嘅數都會用到期望值。
古典力學
[編輯]喺古典力學中,重心呢個概念同期望值計法好相似。重心係指一件物體或者系統內,啲質量平均分佈喺嗰度嘅位。喺一個有若干粒粒子嘅系統 Pi, i = 1, ..., n 裡便,設每粒粒子都帶有質量 mi 而位置係 ri, i = 1, ..., n ,噉重心點 R 嘅坐標位置可以噉計[4]:
決策研究
[編輯]同決策相關嘅理論研究,不時會用到期望值:經濟學同心理學等領域嘅研究,成日都會分析人類點樣做決策——要揀邊個選項,先可以令到自己嘅所得最大化?呢種分析好多時都會用期望值嘅概念嚟衡量「邊個選項先係最佳嘅」;簡單噉諗,假想有一個人喺有不確定性[註 4]嘅情況下做決定,佢可以同每個選項嘅效益函數計返期望值,得知嗰個選項「預期會帶嚟幾多利益」而帶嚟最高期望利益嗰個選項,就係最佳選項[5][6]。
一擲千金
[編輯]《一擲千金》係一個受歡迎嘅遊戲節目,多個國家或地區(包括香港同英國)都有人玩。
呢個遊戲一個版本係噉嘅:遊戲開始嗰時,莊家會畀參加者睇若干個神秘箱,而且參加者仲可以見到獎品池裡便有若干個金額,每個金額都對應某個箱,但參加者唔知邊個打邊個;參加者第一樣要做嘅,就係由啲神秘箱當中揀一個,佢暫時唔會知呢個箱入便嘅係邊個金額。之後,參加者就要逐步噉打開其餘嘅箱,每次打開一個箱佢都會得知個箱內嘅係邊個金額,莊家跟住就會將嗰個金額由獎品池中剔除,即係話參加者會立即得知邊個金額唔係自己初頭揀咗個箱嘅;每揀幾次,莊家就會提供現金交易,參加者要選擇接受莊家嘅交易,定係堅持繼續開箱。去到最後,假如參加者一路將啲箱冚唪唥開晒,佢就會得到初頭個箱內嘅金額咁多嘅錢。
喺呢個遊戲入面,期望值起到重大作用,因為參加者可以計自己個箱內有嘅獎金嘅預期值。計法係[7]:
如果莊家提出嘅交易金額低過呢度計到嘅期望值,玩家理應要拒絕交易,因為佢個箱入面價值理論上比較高。相反,如果莊家提供嘅金額高過期望值,玩家就理應要接受交易,確保獲利。例如假設參加者玩到淨低五個箱,而淨低嘅金額分別係 $1, $10, $50, $1,000 同 $100,000,噉佢哋可以計吓期望值[8]:
假想莊家出價 $15,000,理論上玩家應該拒絕[註 5]。由此可見,期望值嘅概念幫助玩家用更理性嘅方式分析選擇[註 6]。
睇埋
[編輯]註釋
[編輯]引咗
[編輯]- ↑ Edwards, A.W.F (2002). Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea (2nd ed.). JHU Press.
- ↑ Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (Third edition of 1979 original ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc.
- ↑ Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probability, random variables, and stochastic processes (Fourth edition of 1965 original ed.). New York: McGraw-Hill. Section 5-3; Ross 2019, Section 2.4.2.
- ↑ Bai, Linge; Breen, David (2008). "Calculating Center of Mass in an Unbounded 2D Environment". Journal of Graphics, GPU, and Game Tools. 13 (4): 53-60.
- ↑ 10.3 Expected Value. Press Books.
- ↑ Morgenstern, O., & Von Neumann, J. (1953). Theory of games and economic behavior. Princeton university press.
- ↑ Shifflet, Daniel R. (Spring 2011). "Is Deal or No Deal Cheating Its Contestants?". Ohio Journal of School Mathematics (63): 5-10.
- ↑ "Formula for offers in the NBC online version of Deal or No Deal". Dave Gentile's official website.
外拎
[編輯]- (香港繁體) 期望值 | Expected Value,YouTube 有影片用粵語講解期望值嘅概念。
- (英文) 一擲千金,S01 E164,YouTube