卡隆巴系數

卡隆巴系數（粵拼：kaa1 lung4 baa1 hai6 sou3；英文：Cronbach's alpha，$\rho _{T}$）係心理測量學上成日用嚟衡量一個心理測驗嘅信度嘅數值。想像家陣有個心理測驗，有 $k$ 咁多條題目，而呢 $k$ 條題目冚唪唥都係量度緊一個因素（例如 10 條題目量度邏輯能力），研究者搵人做個測驗攞到數據之後，個測驗嘅卡隆巴系數（$\rho _{T}$）條式如下：

$\rho _{T}={k^{2}{\overline {\sigma _{ij}}} \over \sigma _{X}^{2}}$，當中

${\overline {\sigma _{ij}}}$ 係指每對題目之間嘅協方差（covariance）嘅平均值；

$\sigma _{X}^{2}$ 指「啲題目嘅變異數（variance）嘅總和」加埋「題目之間嘅協方差總和」；即係話

$\sigma _{X}^{2}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}\sigma _{ij}=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j\neq {i}}^{k}\sigma _{ij}$（有關呢啲數學符號嘅意思，可以睇吓加總）；

如果卡隆巴系數數值大（接近 1）嘅話，就表示呢柞題目嘅變異數主要源自佢哋之間嘅協方差，簡單講就係表示「呢柞題目之間嘅變異數主要係由佢哋之間嘅相關引起嘅」而唔係源於佢哋各自獨立嘅變異－所以如果一柞題目嘅卡隆巴系數數值大，研究者就更有理由相信呢柞題目係量度緊同一個隱藏因素。喺實際應用上，一般數值超過 0.65 嘅卡隆巴系數算係「可以當呢柞變數係量度同一個隱藏因素」，而高過 0.8 嘅就會當係量度同一個隱藏因素。

例子

舉個簡單例子說明，家陣有個心理測驗，得四條題目，$X_{1}$、$X_{2}$、$X_{3}$ 同 $X_{4}$，四條題目都預佢哋係量度緊同一個因素，而以下係攞咗數據之後得到嘅協方差矩陣（covariance matrix）－協方差矩陣係一種數據表達方法，用一個矩陣表達每對變數之間嘅協方差，例如下面嗰個矩陣就顯示 $X_{1}$ 同 $X_{2}$ 之間嘅協方差係 $6$，而對角線當中嘅係每個變數嘅變異數，例如下面嗰個矩陣就顯示 $X_{1}$ 嘅變異數係 $10$。用下面嗰個矩陣嘅數據計嘅話，呢個四條題目嘅心理測驗嘅卡隆巴系數係：

$k=4,{\overline {\sigma _{ij}}}=6,$

$\sigma _{X}^{2}=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j\neq {i}}^{k}\sigma _{ij}=(10+11+12+13)+4*(4-1)*6=118,$

$\rho _{T}={4^{2}*6 \over 118}=.8135$

數據顯示嘅協方差矩陣

	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$	$X_{4}$
$X_{1}$	$10$	$6$	$6$	$6$
$X_{2}$	$6$	$11$	$6$	$6$
$X_{3}$	$6$	$6$	$12$	$6$
$X_{4}$	$6$	$6$	$6$	$13$

睇埋

• 信度
• 因素分析