潛在變數模型

一維嘅同類測量模型。 T係潛在變數，X係外顯變數，e係啲（潛在）誤差變數，λ係因子負荷（即潛在變數對外顯變數嘅影響）

潛在變數模型（英文：latent variable model，LVM）描述到啲可觀察變數（或者外顯變數）戥佢哋背後啲潛在變數之間嘅連繫。對於潛在變數模型，因子分析同埋結構方程建模係啲比較著名嘅方法。通過潛在變數建模可以㘝埋啲外顯變數、好多時係多過潛在變數好多倍嘅，嚟減少個模型啲必要變數嘅數量。

潛在變數嘅一個例係智能。智能唔直接測量得到，但係從大量測試結果（可觀察變數）可以提取出一個或多個潛在變數（智能）。

潛在變數

内文：潛在變數同構造 (社會學)

喺人類科學同社會科學，潛在變數（又喊做「構造」，德文：Konstrukt）係唔確定得到嘅變數，唔直接測量得或者觀察得，只能經由所謂嘅操作化（Operationalization）嚟測量。可測量變數（喊做指標，或者外顯變數）有得明確嘅定義而且可以檢測得到。當中假定啲潛在變數對外顯變數嘅表達有因果影響。

舉例，考慮有問題「你滿意嘸啊？」「你感覺好嘸啊？」，問題嘅答案就係外顯變數，即「係/否」可以直接測量。但係引致啲回答嘅原因，也即係情緒就唔直接測量得到，所以係潛在變數。

戥外顯變數相反，潛在變數都唔係冇測量誤差，如上圖所示。一個外顯變數嘅表達喺好大程度上受兩個潛在變數嘅影響：個「構造」（T）同埋個相應嘅特定誤差（e）。鑑於噉嘅屬性，潛在變數着首要攞來檢驗喺實證層面，啲構造之間嗰種真正（即校正過誤差嘅）關連（例如，啲人格特質裏頭個盡責性同個神經質性係全同定唔係）。

概述

模型考慮有潛在變數嘅嘅情況下，可以着分爲測量模型戥結構模型。測量模型包括有外顯變數同潛在變數之間嘅關係，之結構模型僅衹限於啲潛在變數內部嘅關係（睇埋結構方程模型）。

啲分析測量模型嘅方法走差喺潛在變數同外顯變數嘅量度層次度：

	外顯變數
潛在變數	連續式	分類式
連續式	因子分析	項目應答理論
分類式	潛在剖面分析	潛在類別分析

數學表示

根據貝葉斯推論：

$P(\mathbf {z} \mid \mathbf {x} )={\frac {P(\mathbf {x} \mid \mathbf {z} )\cdot P(\mathbf {z} )}{P(\mathbf {x} )}}$

其中$\textstyle \mathbf {x}$係樣本，$\textstyle \mathbf {z}$係樣本反映嘅潛在變數。$P(\mathbf {z} \mid \mathbf {x} )$表示畀有樣本$\textstyle \mathbf {x}$嗰陣啲$\textstyle \mathbf {z}$嘅分佈。

對於生成模型嚟講，可以根據潛在空間嘅$P(\mathbf {z} )$生成潛在變數$\textstyle \mathbf {z}$，再根據觀察空間嘅$P(\mathbf {x} \mid \mathbf {z} )$得到相應嘅新樣本$\textstyle \mathbf {x}$。

反過嚟喺對啲$\textstyle \mathbf {x}$建模出$P(\mathbf {x} )$嗰陣，就需要用到$P(\mathbf {x} )$嘅邊緣概似也即係$\int P(\mathbf {z} )P(\mathbf {x} \mid \mathbf {z} )}{d\mathbf {z}$；注意到$P(\mathbf {z} )P(\mathbf {x} \mid \mathbf {z} )}{d\mathbf {z}$即係對$P(\mathbf {x} \mid \mathbf {z} )$嘅期望形式，所以條式都可以寫成$\mathbb {E} _{\mathbf {z} \sim P(\mathbf {z} )}[P(\mathbf {x} \mid \mathbf {z} )]$嘅形式。同時亦都要根據貝葉斯推論從$P(\mathbf {x} )$抽出$P(\mathbf {z} \mid \mathbf {x} )$也即係潛在變數喺有嗰啲樣本嘅條件下個分佈情況。

要建模$P_{\theta }(\mathbf {x} )$可以用對數最大概似估計，即最大化某個$f(\theta )$。但因爲邊緣概似當中個積分冇解析解，所以難幫佢做數值積分或者求梯度。因此，好多時係用變分推斷嘅方法嚟建出啲分佈模型，啲取決於潛在變數$\textstyle \mathbf {z}$嘅。

考

• Jürgen Bortz und Nicola Döring: Forschungsmethoden und Evaluation. Für Human- und Sozialwissenschaftler. Springer 2006, ISBN 978-3540333050.
• Rolf Steyer und Michael Eid: Messen und Testen. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-56924-1.
• Michael Eid und Katharina Schmidt: Testtheorie und Testkonstruktion. Hogrefe, Göttingen 2014, ISBN 978-3-8409-2161-2.