結構方程式模型

呢個結構方程式模型嘅量度模型：G 呢個因素由 5 個實際量度到嘅變數，即係拃 x，嚟反映。

結構方程式模型，英文簡稱叫 SEM，係一系列數學模型同演算法，用嚟搵出變數之間嘅關係，包含通徑分析等嘅多種統計技術。結構方程模型其中一種最重要嘅用途係攞嚟分析所謂嘅隱藏變數：喺心理學等領域上，研究者成日都要應付一啲因素，呢啲因素冇得直接量度，只可以由可觀察變數嘅數值嚟反映；比如係智能噉，智能到咗廿一世紀初，都冇得直接度，淨係可以透過受試者做智商測試得到嘅分數嚟「反映」之；結構方程模型可以分析呢啲隱藏變數嘅內部結構，以及隱藏變數間有咩關係。

結構方程模型喺社科同商學上都有用。噉係因為呢啲領域應付嘅係人類，人類唔似得原子或者細胞噉，可以擺喺實驗室裡便任意操控，所以呢啲領域嘅研究周不時都要應付一啲冇得直接量度嘅變數，於是研究者就焗住要思考，量度到嗰啲變數，有冇可能反映到量度唔到嗰啲變數嘅值；結構方程模型話到畀研究者知，某拃變數似唔似係反映緊某個隱藏因素，或者隱藏因素 A 嘅值能唔能夠預測隱藏因素 B 。研究者可以用所得嘅資訊做假說檢定，驗證其假說。

學結構方程式模型，通常要識咗基本嘅概率論同統計學先。

基本諗頭

睇埋：心理測量學

結構方程式模型源於一九六〇至一九七〇年代，當時科學運算開始普及。呢種分析方法做嘅，係搵出一系列方程式，能夠描述隱藏變數之間嘅關係，仲有係隱藏變數同觀察到嘅變數間有乜嘢關係，佢可以想像成係迴歸分析同因素分析結合埋一齊嘅技術。

迴歸分析

線性迴歸模型嘅圖解；幅圖嘅兩條軸分別代表研究緊嗰兩個變數 x 同 y，每個藍點係一個個案，每個個案都喺兩個變數上有個值，條直線係迴歸模型。

内文：迴歸分析

迴歸分析係統計模型一類，用嚟建立描述兩個或者以上唔同變數之間嘅關係嘅數學模型：喺統計學上，研究者好多時會想用一個變數嘅數值嚟預測第啲變數嘅數值；喺最簡單嗰種情況下，個統計模型會涉及兩個連續嘅變數，當中一個係自變數，而另一個就係應變數，而個研究者會用個 IV 嘅數值嚟預測個 DV 嘅數值；對個研究者嚟講，可能嘅做法係搜集啲數據返嚟，用啲數據做迴歸分析，整個模型（即係畫條線）出嚟，個模型就能夠幫佢預測「當 IV 係呢個數值嗰陣，假設第啲因素不變，個 DV 嘅數值會傾向係幾多」。迴歸模型有以下呢啲：

$DV=a+b(IV)$（線性迴歸）；

$DV=a+b(IV)+c(IV)^{2}$（多項式迴歸）；

... 等等。原則上，如果有個方法可以由過往數據嗰度搵出 $a$ 同埋 $b$ 等參數嘅數值，第時就可以靠條式大致上用 IV 嘅值估計 DV 嘅值；統計學同機械學習等嘅領域上有好多演算法可以用嚟搵出呢啲參數嘅數值。

唔少人都誤以為迴歸模型嘅變數必定係成因果關係，當中自變數係因，而應變數係果。統計學界一般認為呢個諗法係錯誤嘅，噉係因為要確立因果關係，就要使用實驗方法至得，而迴歸模型當中嘅自變數同應變數只係前者嘅數值可以用嚟預測後者嘅數值嘅關係，而果有可能可以用嚟預測因，所以齋靠迴歸模型唔可以確立兩個變數之間邊個係因邊個係果。結構方程式模型都係同一道理。

因素分析

因素嘅想像圖；家陣研究者想量度 $T$ 呢個睇唔到嘅因素（例如智能），於是就俾受試者做個測驗，有 $k$ 咁多條題目，$X_{1}$、$X_{2}$、$X_{3}$... $X_{k}$，當中每條題目都有個誤差值 $e_{i}$ 以及 $\lambda _{i}$，而 $\lambda _{i}$ 簡單講係反映緊該條題目嘅分有幾受 $T$ 主導。

内文：因素分析

因素分析係一系列用嚟將大量變數轉化成少量因素嘅統計方法。因素分析有好多種，不過做法一般都係由若干個直接觀察到嘅變數嗰度推想一個能夠解釋呢啲變數嘅變化嘅因素出嚟，而最後得出呢個因素能夠一定程度上反映嗰柞變數嘅變化。舉個例說明：

1. 想像家陣手上個數據庫有若干個被觀察咗嘅隨機變數 $x_{1},x_{2},...,x_{p}$，而呢柞變數嘅平均值係 $\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{p}$。
2. 想像有 $k$ 個冇被觀察到嘅隱藏變數 $F_{j}$，$j\in \{1,\dots ,k\}$，而呢柞 $F_{j}$ 係所謂嘅因素；

做因素分析前，$F_{j}$ 嘅數值係未知，而因素分析嘅目的就係要搵出以下呢啲式當中嘅參數：

$x_{i}-\mu _{i}=l_{i1}F_{1}+\cdots +l_{ik}F_{k}+\varepsilon _{i}$；當中

• $i\in 1,...,p$
• 啲 $l_{ij}$ 係參數；
• $\varepsilon _{i}$ 係誤差，平均值係 0，而變異數係一個有限數值，唔同 $i$ 嘅 $\varepsilon _{i}$ 變異數數值可以唔同。

因素分析喺心理測量上極之常用：心理測驗會有若干條題目，而設計個測驗嘅人一般會嘗試用統計模型模擬個測驗嘅因素結構；舉個例說明，依家做智商測驗，測驗有 50 條題目，當中頭嗰 25 條題目量度邏輯能力，而尾嗰 25 條題目量度語言能力，即係話呢個測驗理論上有兩個因素－邏輯能力同語言能力；而頭嗰 25 條題目理論上應該會係邏輯能力（$F_{1}$）嘅函數而非語言能力（$F_{2}$）嘅函數－由量度邏輯能力嗰 25 條題目當中是但攞一條嘅分數 $q_{i}$ 嚟睇，

$q_{i}=\beta _{1}F_{1}+\beta _{2}F_{2}$，而 $\beta _{1}>\beta _{2}$

當中 $\beta _{1}$ 同 $\beta _{2}$ 係數值有方法估計嘅系數。

結合埋一齊

結合上述講嘅嘢，以下呢個係一個結構方程模型：個模型涉及 7 個直接量度得到嘅變數，由圖下方嗰 7 個方形代表；跟住有兩個以圓形表示嘅隱藏變數－智能同埋學術表現，當中智能由 4 個量表指標嚟代表，學術表現由最尾嗰 3 個變數代表，基本上就係因素分析做嘅嘢；跟住個結構方程模型，仲搵出咗智能同學術表現呢兩個隱藏變數之間嘅關係，即係迴歸分析嘅核心，發現智能呢個自變數可以預測學術表現呢個應變數；講明智能同啲指標之間嘅關係嘅方程式用由智能指去指標嘅箭咀表示，是謂量度模型，而講明智能同學術表現之間嘅關係嘅方程式，以由智能去學術表現嘅箭咀表示，是謂結構模型。

每個箭咀掕住嘅數字反映段關係有幾強，如果係標準化咗嘅系數，其數值愈接近 1 就愈表示關係強烈。

建立模型

睇埋：通徑分析

事前處理

一個協方差矩陣

	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$	$X_{4}$
$X_{1}$	$10$	$6$	$6$	$6$
$X_{2}$	$6$	$11$	$6$	$6$
$X_{3}$	$6$	$6$	$12$	$6$
$X_{4}$	$6$	$6$	$6$	$13$

睇埋：卡隆巴系數

要建立結構方程式模型，第一步要做嘅係要手上有一個數據集，數據集包含樣本裡便每個個體喺每個可觀察變數上嘅值，而且原則上，每個個體之間彼此係獨立嘅。跟住研究者可以由呢啲數據嗰度得出呢拃數據嘅協方差矩陣，有咗呢拃變數嘅變異數同佢哋之間嘅協方差等嘅值，當中兩個變數之間嘅協方差係指以下嘅數值，當中左邊嗰個項係個協方差：

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}$，當中

• $X$ 同 $Y$ 係兩個隨機變數；
• $\operatorname {E} [X]$ 係啲個案喺 $x$ 上嘅期望值；
• $\operatorname {E} [Y]$ 係啲個案喺 $y$ 上嘅期望值。

如果兩個變數傾向一齊高或者一齊低，協方差會係正數；如果一個高另一個低，協方差會係負數，而數值絕對值愈大，一般表示共同變動程度愈高。好似係右圖嗰個協方差矩陣噉，就表示緊 $X_{1}$、$X_{2}$、$X_{3}$ 同 $X_{4}$ 之間嘅變異數（喺對角線嗰啲數值）同埋每對變數之間嘅協方差。有好多用嚟做結構方程式模型嘅演算法都係以協方差矩陣嚟做輸入嘅，因為模型存在嘅目的，就係要重現返觀察到嘅變數間關係。

亦有做法會事先將每個變數嘅數值減去該變數嘅平均值，是謂中心化，做咗中心化嘅話 $\operatorname {cov} (X,Y)$ 就會簡化變成 $\operatorname {E} {{\big [}XY{\big ]}}$ 。

估計參數

睇埋：最大似然估計

得到數據之後，就要嘗試建立量度模型，估計模型嘅參數。呢個模型描述隱藏變數同觀察到嘅變數，兩者之間有咩關係。喺結構方程模型中，分析者要指明個模型係咩樣，譬如係個模型有幾多個隱藏變數、邊個指標變數反映邊個隱藏變數等。分析者跟住就要決定，想用邊種技術嚟估計模型參數，喺圖像表達上，呢啲參數時常會畫成圖中箭咀掕住嘅數值。

喺廿一世紀初嘅統計學界，最大似然估計係其中一種最常用嘅估計方法：最大似然估計會根據模型同數據，搵出一個概似函數，呢個函數會反映觀察到手上嘅數值 $X$ 同模型參數 $\theta$ 之間嘅關係，而最大似然估計演算法嘅目標，簡化講就係要搵出 $\theta$ 嘅數值應該要係幾多，先可以令概似函數有咁大得咁大。

$L(\theta \mid x)$ 可以表達成：

${\text{Pr}}(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},...X_{n}=x_{n}|\theta )$

當中 $X_{1},X_{2}...X_{n}$ 代表樣本中唔同個體嘅觀察值，而 $x_{1},x_{2}...x_{n}$ 則代表實際觀察到嘅數值。$n$ 係樣本大細。

有關點樣搵出啲參數嘅值，亦可以睇下最佳化嘅概念。

結構方程式模型會同時估計量度模型同結構模型嘅參數。量度模型負責描述隱藏變數同觀察變數之間嘅關係，而結構模型則描述隱藏變數彼此之間嘅關係。演算法會透過最大似然估計等方法，調整模型參數，令模型預測出嚟嘅協方差矩陣盡量接近實際觀察到嘅協方差矩陣。

驗證因素

内文：確定型因素分析

結構方程式模型嘅量度模型，時常會用確定型因素分析嘅方式嚟表示。既然要造量度模型，搵出一堆變數一齊反映緊嘅某隱藏因素，就表示分析者預期呢拃變數間會有一定嘅相關－變數間嘅協方差數值有返咁上下大；喺一般嘅探索型因素分析當中，研究者唔會事先指定每個觀察變數應該撈load落去邊個因素度，而係會由手上嘅數據，畀演算法自己估計模型，頂攏係會指定隱藏因素嘅數量。相比之下，做得量度模型就假設研究者心目中有咗個模型：佢要憑住理論知識，推斷模型應該大致上係點嘅樣－包括有幾多個隱藏因素、邊個觀察變數反映邊個隱藏因素等等，然後造量度模型嘅演算法就會做大量運算，檢視研究者提出嘅模型同數據反映嘅嘢有幾夾，是謂適合度－即係話佢哋喺度嘗試確定個模型係咪啱。

確定型因素分析會得出因素負荷量：每個觀察變數同埋個隱藏因素間都有一個負荷量，負荷量個諗頭類似相關或者標準化嘅迴歸係數；負荷量嘅絕對值大，就表示該觀察變數同個隱藏因素有強嘅相關，反之如果負荷量嘅絕對值細，噉就表示佢同該隱藏因素之間嘅相關弱。例如用返正話個模型做例子：

每個隱藏因素都有個箭咀指住反映佢嘅變數，而箭咀掕住嘅數就係隱藏因素同嗰個指標變數間嘅負荷量，例如尺度 1 呢個變數係智能呢個隱藏因素嘅指標，兩者之間嘅因素負荷量係 0.7 ；而高中嘅 GPA 係學術表現呢個隱藏因素嘅指標，兩者之間嘅因素負荷量係 0.75 。如果某指標變數嘅因素負荷量好低，研究者通常就會覺得個變數根本未能反映個隱藏因素，會考慮將個變數攞走。

模型評估

適合度嘅指標

内文：適合度

淨係得出個模型，係唔夠嘅。手上有咗模型後，分析者仲要留意個模型嘅適合度：適合度係指一個統計模型有幾合乎觀察到嘅數據；例如用返 50 條題目、兩個因素嘅智商測驗嚟做例，設計好題目後，設計者就要收數據，搵受試者做個測驗，收完做因素分析，睇吓啲受試者喺測驗上嘅得分，係咪真係好似預想嘅噉，望落似係由兩個隱藏因素主宰－即係有個模型，主張個測驗有兩個因素，當中頭嗰 25 條題目反映第一個因素，尾嗰 25 條題目反映第二個因素，要檢驗下呢個統計模型嘅適合度有幾高。

適合度指標就係由統計學工作者設計、用嚟衡量統計模型嘅適合度嘅一系列指標數值。廿一世紀嘅統計學界有好多種適合度指標，而用統計技術做研究嘅人會按自己嘅情況選擇用咩指標衡量手上嘅統計模型。廿一世紀初統計界常用嘅適合度指標有以下呢啲：

• 卡方檢定，符號係 χ² ：呢種做法將模型正確當做虛無假說 $H_{0}$，並且攞模型嘅協方差矩陣，攞去同實際觀察到嘅協方差矩陣，兩者做卡方檢定，下面係變數有三個咁多嘅情況－ χ² 愈大，就表示兩個矩陣之間嘅差異愈大，研究者就愈有理由相信個模型係錯嘅。卡方檢定可以話係結構方程模型適合度嘅基礎－ RMSEA 同 CFI 等都係由卡方檢定衍生出嚟嘅。

模型預期嘅矩陣

	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$
$X_{1}$	$5.88$	.	.
$X_{2}$	$2.88$	$7.16$	.
$X_{3}$	$3.12$	$4.44$	$8.14$

實際睇到嘅矩陣

	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$
$X_{1}$	$6.42$	.	.
$X_{2}$	$1.24$	$8.25$	.
$X_{3}$	$4.26$	$2.75$	$7.99$

• 近似值根均方誤差，英文簡稱 RMSEA：數值愈低愈好嘅適合度指標；RMSEA 最細嘅可能數值係 0，而一般認為 RMSEA 數值喺 0.1 或者以上嘅話，個模型嘅適合度就謂之低到唔可以接受。
• 標準化根均殘差，英文簡稱 SRMR：另一個數值愈低愈好嘅適合度指標；一般認為， SRMR 嘅數值最好係喺 0.1 以下，亦都有統計學家主張 SRMR 數值要喺 0.08 以下個模型先可以算係有充足嘅適合度。
• 比較適合指數，英文簡稱 CFI：呢個值主要反映數據中嘅統計相關嘅大細嘅適合度，所以數值係愈高愈好；一般嚟講，CFI 嘅數值過到 0.95，個模型就算係可以接受。

由於結構方程模型嘅眾多適合度指標，都係基於協方差矩陣嘅，所以適合度指標欠佳，好多時係表示實際數據裡便有某啲協方差，係個模型冇納入考慮範圍嘅。

修改指數

内文：修改指數

如果啲適合度指標唔靚，分析者就可能要諗個模型需要點樣執（改吓啲變數之間嘅箭咀），先可以得出適合度指數靚嘅模型。修改指數係用嚟做呢樣嘢嘅一種指數數值。有好多用嚟做結構方程式模型嘅軟件喺建立完個模型之後會俾出一啲修改指數：喺最基本上，修改指數反映「邊條箭咀應該攞走」同「邊兩個變數之間應該要加箭咀」等嘅資訊，即係例如個程式喺建立個模型嗰陣，順手計埋「如果呢兩個變數之間嘅箭咀攞走，χ² 會點樣變」同埋「如果呢兩個變數之間加個箭咀，χ² 會點樣變」等嘅嘢，所以分析者如果需要執個模型，就可以靠睇啲修改指數嚟做決定。

喺廿一世紀初嘅統計學界，「修改指數要點樣應付」係一個有相當爭議性嘅課題。心理學同社會學等領域嘅分析者好多時都係「完全跟從修改指數做事」嘅，但有唔少統計學界嘅人士都覺得噉做有問題－有好多理論家都覺得，研究呢家嘢係應該由理論主導嘅，而數值有返咁上下大嘅修改指數的確有可能係源自隨機性質嘅誤差，所以佢哋認為，分析者喺決定係咪跟從一個修改指數嗰時，應該仲要諗埋「攞走呢個箭咀」或者「加呢個箭咀」喺理論上算唔算係合理。

多組分析

睇埋：調節效應

結構方程式模型可以用嚟做多組分析。多組分析泛指「將受試者分做幾組，每組都由佢哋嘅數據嗰度估個統計模型出嚟，並且比較唔同組喺個模型上有乜差異」。舉個簡化例子說明，研究者認為變數 $x$ 同變數 $y$ 喺實驗組當中會成正比，不過喺對照組當中會冇相關（即係有個調節效應），於是佢就將柞數據斬開做兩份，實驗組一份、對照組一份，然後再分開噉同兩組各建立一個喺結構上相同嘅迴歸模型（$y=\beta x+e$），再睇吓呢兩組嘅 $\beta$ 係咪有預期中嘅差異－如果佢個假說係正確，噉個 $\beta$ 喺實驗組當中應該會係統計上顯著嘅正數，喺對照組當中就會統計上唔顯著。

量度不變特性

内文：量度不變特性

量度不變特性係做多組分析嘅結構方程式模型嗰陣會用到嘅概念。想像家陣有個隱藏變數 $c$（智能或者性格呀噉），$c$ 由 $x_{1}$、$x_{2}$ 同 $x_{3}$ 呢三個指標變數反映，而一份喺美國做嘅研究發現，呢三個指標變數嘅因素負荷量分別係 $w_{11}$、$w_{12}$ 同 $w_{13}$ 咁多；跟住研究者想知呢個發現係咪可以普遍化去美國以外嘅地區，於是就喺歐洲同日本再做研究攞數據，而家想像

• $c_{1}$ 表示由喺美國得到嘅數據造出嚟嘅 $c$ 量度模型、
• $c_{2}$ 表示由喺歐洲得到嘅數據造出嚟嘅 $c$ 量度模型、同埋
• $c_{3}$ 表示由喺日本得到嘅數據造出嚟嘅 $c$ 量度模型、

問題係，呢三個 $c$ 喺柞 $w$ 嘅數值上會唔會有差異？呢個就係量度不變特性關注嘅問題：如果話一個量度方法（例如係智商測試等嘅心理測驗）具有量度不變特性，即係話喺分析緊嗰幾組之間，個量度所度緊嘅概念嘅結構（柞 $w$）並冇差異；一般嚟講，量度不變特性俾人認為係用 SEM 做多組分析嘅必要條件－如果一個隱藏變數冇量度不變特性，就表示有關「個隱藏變數度緊乜」嘅理論唔具有普遍化嘅能力，冇得做多組分析。

約束分析

睇埋：約束 (數學)

約束喺統計學上係指喺建立一個統計模型嗰陣，指定個模型一定要滿足某啲條件，喺 SEM 多組分析上成日會用：想像家陣有個分析者將柞數據分咗做實驗組同對照組兩份，佢想知隱藏變數 $X$ 同隱藏變數 $Y$ 之間嗰個箭咀—「$y=\beta _{xy}x+e$」當中個「$\beta _{xy}$」—喺兩組之間有冇差異，佢可以

• 首先俾個程式完全自由噉建立一個結構模型先，得出一個 χ² 值；
• 跟住佢作出約束，要求個程式喺「假設兩組嘅嗰一個 $\beta _{xy}$ 數值一樣」嘅情況下建立一個結構模型，又得出一個 χ² 值，
• 如果呢個 χ² 值明顯大過打前嗰個，就表示「假設兩組嘅嗰一個 $\beta _{xy}$ 數值一樣」會搞到個結構模型嘅適合度明顯變差－噉個分析者就有理由相信「兩組嘅嗰一個 $\beta _{xy}$ 數值有差異」，可以作出「『屬實驗組定對照組』呢個變數會對 $X$ 同 $Y$ 之間嘅關係有調節效應」嘅推論。

統計功效

喺廿一世紀初，結構方程式模型嘅統計功效係一個頗受關注嘅課題。一個假說檢定過程（例如係建立一個結構方程式模型嘅過程）嘅統計功效係指「如果 $H_{1}$（備擇假說）係真確，個測試過程會成功拒絕到 $H_{0}$（虛無假說）」嘅機會率，即係：

$p=P{\big (}$成功拒絕 $H_{0}\mid H_{1}$ 係真 ${\big )}$

一般嚟講，個樣本愈大，統計功效就會愈高。有好多統計學家都喺度爭論「到底樣本大細（$n$）要係幾多，一個結構方程式模型先會有可接受嘅統計功效」。廿一世紀初嘅統計學界有用電腦模擬研究呢個課題：研究者會用演算法產生一柞數據，再用呢啲數據嚟行結構方程式模型，行若干次，睇吓樣本大細等嘅變數會點樣影響 ${\text{power}}$；一般認為，只要 $n$ 嘅數值

• 大過 200 、
• 係要估計嘅參數數量嘅最少 10 倍、而且
• 係變數數量嘅最少 10 倍，

噉呢個結構方程式模型就可以算係具有可接受嘅統計功效。

軟件

• LISREL
• R 程式語言當中都有軟件包做結構方程式模型。
• SPSS 當中嘅軟件包「AMOS」專係整嚟做結構方程式模型嘅。

睇埋

• 社會科學
• 心理學
• 最佳化
• 交叉滯後模型
• 混合物模型，一個混合物模型可以想像成 SEM 一種，不過得一個潛在變數，而且個潛在變數係離散嘅。

文獻

一般文獻：

• Bowen, N. K., & Guo, S. (2011). Structural equation modeling. Oxford University Press.
• Elliott, M. R. (2003). Causality and how to model it (PDF). BT technology journal, 21(2), 120-125.
• Kaplan, D. (2008). Structural Equation Modeling: Foundations and Extensions (2nd ed.). SAGE. ISBN 978-1412916240.
• Kline, Rex (2011). Principles and Practice of Structural Equation Modeling (3rd ed.). Guilford. ISBN 978-1-60623-876-9.
• Newsom (2023). Latent Variable Cross-lagged Panel Models (PDF)，呢篇文講到點樣處理交叉滯後模型，提到要處理縱向研究（某啲變數可能量度咗幾次）中嘅模型，同一個變數，唔同時間點嘅版本之間殘差會有統計相關，個模型要估計呢啲相關嘅協方差數值。
• Werner C., & Schermelleh-Engel, K. (2010). Deciding Between Competing Models: Chi-Square Difference Tests. Introduction to Structural Equation Modeling with LISREL.

社科文獻：

• Duncan, T. E., & Duncan, S. C. (2009). The ABC's of LGM: An introductory guide to latent variable growth curve modeling. Social and personality psychology compass, 3(6), 979-991，呢篇文入門式噉講解點樣做潛在增長模型（LGM），用結構方程模型嗰套框架嚟剖析變數隨時間嘅變化。
• Hu, Li‐tze; Bentler, Peter M (1999). "Cutoff criteria for fit indexes in covariance structure analysis: Conventional criteria versus new alternatives". Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal. 6: 1-55.
• MacCallum, Robert; Austin, James (2000). "Applications of Structural Equation Modeling in Psychological Research". Annual Review of Psychology. 51: 201-226.
• Quintana, Stephen M.; Maxwell, Scott E. (1999). "Implications of Recent Developments in Structural Equation Modeling for Counseling Psychology". The Counseling Psychologist. 27 (4): 485-527.
• Tarka, P. (2018). An overview of structural equation modeling: its beginnings, historical development, usefulness and controversies in the social sciences (PDF). Quality & quantity, 52(1), 313-354.
• Wulff, J. N., Sajons, G. B., Pogrebna, G., Lonati, S., Bastardoz, N., Banks, G. C., & Antonakis, J. (2023). Common methodological mistakes. The Leadership Quarterly, 34(1), 101677，當中其中幾段有講到啲人做 SEM 分析嗰陣嘅常犯錯誤。

外拎

• （英文）Ed Rigdon's 結構方程式模型頁面
• （英文）David Garson's Stat 碌士下嘅結構方程式模型頁面，NCSU
• （英文）有關結構方程式模型嘅問題同意見，SEM in IS Research