標準誤差

上圖係服從無偏常態分佈嘅標準誤差。

  提示：呢篇文講嘅唔係標準差。

標準誤差（粵拼：biu1 zeon2 ng6 caa1 ），又叫標準誤，英文簡稱 SE，係統計學概念，講到同樣本計平均數等嘅統計量嗰陣，計出嚟嘅統計量嘅變異程度。最基本上，標準誤差可以噉樣理解：想像依家重複由同某個總體入便抽樣，抽若干次；每次攞到個樣本，都同佢哋計一次統計量，例如係計個樣本嘅平均數；標準誤差衡量嘅，就係呢啲計出嚟嘅統計量嘅「波動程度」有幾大。

精確啲講，標準誤差可以用下條式計：

${\text{標 準 誤 差 }}={\frac {\text{樣 本 標 準 差 }}{\sqrt {\text{樣 本 大 細 }}}}$

即係話攞樣本標準差，除以樣本大細嘅平方根。

標準誤差亦可以用電腦模擬嘅方法嚟估計。

基本定義

睇埋：抽樣分佈

假想依家要由總體度抽樣，假設個樣本係獨立嘅，而樣本有 $n$ 個觀察到嘅數值 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$。個總體嘅真實標準差係 $\sigma$ 咁多。由個樣本計算出嚟嘅平均值 ${\bar {x}}$，會有一個對應嘅平均值標準誤差 $\sigma _{\bar {x}}$，計法如下：

$\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

用日常用語講，意思即係話樣本愈大，由樣本估計得出嘅統計量就會愈「穩定」。

總體標準差 $\sigma$ 好少可會事先知道。所以計平均值嘅標準誤差嗰時，統計師通常會用樣本標準差 $\sigma _{x}$ 去代替 $\sigma$，即係：

${\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}.$

標準誤差係抽樣分佈嘅標準差。抽樣分佈相當有用，計算信心區間（CI ）嗰陣，必定會對抽樣分佈係咩樣作出一啲假設。

推導方法

要推導出平均值嘅標準誤差，可以首先考慮一個情況：每個抽出嚟嘅一個個個案，係獨立同分佈嘅。想像依家要由總體嗰度，抽 $n$ 個彼此間獨立嘅觀察出嚟，而呢個總體嘅平均值為 $x$ 而標準差則為 $\sigma$，抽出嚟嘅樣本記作

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

計返個總數， $$T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}),$$ 基於卑氏恆等原理 (暫譯)，$T$ 嘅方差係 $$\operatorname {Var} (T)=\operatorname {Var} (x_{1})+\operatorname {Var} (x_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (x_{n})=n\sigma ^{2}.$$ 呢啲量度到嘅值嘅平均值 ${\bar {x}}$（樣本平均值）係 $${\bar {x}}=T/n.$$ 噉呢個平均值嘅方差就係 $$\operatorname {Var} ({\bar {x}})=\operatorname {Var} \left({\frac {T}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}},$$ 標準誤差定義上就係 ${\bar {x}}$ 嘅標準差，所以係 ${\bar {x}}$ 嘅方差嘅開方： $$\sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.$$

點解要計

睇埋：樣本大細同信心區間

標準誤差嘅用途包括：

• 反映樣本統計量嘅穩定度同可靠度：標準誤差細，就表示個統計量會比較穩定，而假如標準誤差過大，好可能表示有樣本太細、數據本身變異程度太高... 等等嘅問題。於是研究者就冇信心準確噉估計想計嘅統計量。
• 協助做估計同推論：例如建構信心區間（CI）。
• 幫助進行假說檢定，測試假說：例如計算 t-測試入便嘅 t 統計量。

簡單講，標準誤差用嚟量度「樣本統計量有幾可信」；樣本數量愈大，標準誤差愈細，估計總體參數就愈準確。

做統計分析嗰陣，樣本大，標準誤差就會細，而做 t-測試計算嗰陣 t 統計量就會漲大，容易出現一種情況，就係好弱嘅效果都會統計上顯著。

睇埋

• 誤差：標準誤差嚴格嚟講唔算係誤差嘅一種，不過可以大概想像成估計誤差有幾高。
• 變異數
• 中央極限
• 誤差範圍