相圖 (動態系統)

喺動態系統嘅研究裏面，相圖係指將一個動態系統嘅軌跡用繪圖嘅幾何方式表示喺一個相平面上面，用嚟研究嗰個系統喺某啲固定參數下嘅特性。呢啲動態系統裏面嘅物理量之間嘅關係通常會用一啲微分方程或者方程組表示。通常用相圖嚟研究動態系統裏面嘅一啲物理量係因為對呢啲物理量會唔會隨著時間推演而出現吸引子、排斥子或者極限循環有興趣。

例子

單擺嘅相圖

單擺係其中一種最簡單嘅動態系統。佢嘅相圖可以跟據有冇空氣阻力喺度而分成兩種情況探究。喺呢個探究裏面，假設條繩係冇質量同埋繃緊嘅。

冇空氣阻力

當冇空氣阻力嘅時候，只有兩道力作用喺單擺波上面：自身重力同埋繩嘅張力。因為個波進行嘅係圓周運動，佢嘅移動方向相對於條繩係切向嘅。根據牛頓第二定律，將重力拆部件之後，剩係考慮切向嘅淨力，可以得到：

$-mg\sin \theta =ma_{tan}=ml\alpha =ml{\ddot {\theta }}$

其中 $m$ 係個波嘅質量， $g$ 係重力加速度， $l$ 係條繩嘅長度， $\theta$ 係條繩同埋垂直線之間形成嘅夾角， $a_{tan}$ 係切向加速度， $\alpha$ 係角加速度。簡化之後，以上就係一條二階一次微分方程：

${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\sin \theta \,\,(={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta )=0$

因為 $\sin \theta$ 呢個項喺條方程度出現，呢條方程冇函數解（即係個解唔可以用基礎函數表示），只有解析解。於是，要清晰表現出呢種運動嘅特性有一定嘅難度。為咗更方便研究呢種運動，可以用 $\theta$ 做 $x$ -軸，用 ${\dot {\theta }}$ 做 $y$ -軸，畫一幅相圖。根據條微分方程，當用矩陣嚟表示嘅時候，坐標 $(\theta ,{\dot {\theta }})$ 嘅變化率係：

${\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\ddot {\theta }}\end{pmatrix}}={\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}\theta \\{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\-{\frac {g}{l}}\sin \theta \end{pmatrix}}$

於是，對於相圖上面嘅每一點 $(\theta ,{\dot {\theta }})$ ，畫一支 ${\dot {\theta }}\mathbf {i} -{\frac {g}{l}}\sin \theta \mathbf {j}$ 嘅向量嚟表示 $\theta$ 同 ${\dot {\theta }}$ 隨著時間嘅變化喺相圖裏面嘅軌跡，就完成咗一幅可以用嚟方析冇空氣阻力之下單擺運動嘅相圖。

范德波爾振盪器嘅相圖

納維-斯托克斯方程嘅相圖