梅森質數

梅森數係指形如$2^{n}-1$嘅數，記做$M_{n}$；如果一個梅森數係質數咁佢稱為梅森質數（英文：Mersenne prime）。

截至2024年10月，已知嘅梅森質數共有52個。已知最大嘅梅森質數係$2^{136279841}-1$。由1997年到而家，所有新嘅梅森質數都係由互聯網梅森質數大搜索（GIMPS）分布式計算項目發現嘅。

相關命題同定理

梅森數同梅森質數嘅性質

• $M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}$。

• q ≡ 3 mod 4為質數。則 2q+1係質數 嘅充分必要條件系 2q+1整除M_q，因此對於呢啲質數q（除咗3），M_q唔可能會係質數，前幾個咁嘅質數q為11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 659, 683, 719, 743, 911, 1019, 1031, 1103, 1223, 1439, 1451, 1499, ... （OEIS數列A002515）
• 如果p係奇質數，咁任何能整除2^p − 1嘅質數q都一定係1加上一個2p嘅倍數。例如，2¹¹ − 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
• 如果p係奇質數，咁任何能整除$2^{p}-1$嘅質數q都一定同$\pm 1{\pmod {8}}$同除，因為2係模$2^{p}-1$和質數q嘅二次剩餘。

梅森數和梅森素數嘅關系

下面嘅命題關注乜樣嘅梅森數系梅森素數。

• 由$2^{ab}-1=(2^{a}-1)\times \sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}$知：q系素數系M_q系素數嘅必要條件。但呢唔係充分嘅。M₁₁ = 2¹¹ − 1 = 23 × 89系個反例。
• 對M_q（q系素數）有：
  • 若a系M_q嘅因數，則a有如下性質：
    • a ≡ 1 mod 2q
    • a ≡ ±1 mod 8
  • 歐拉嘅一個關於形如1+6k嘅數嘅理論表明：M_q系素數當且僅當存在數對（x,y）使得M_q = (2x)² + 3(3y)²，其中q ≥ 5。
  • Reix發現q > 3時，M_q可以寫成：M_q = (8x)² - (3qy)² = (1+Sq)² - (Dq)²。顯然，若存在一個數對（x,y），咁M_q系素數。

梅森數嘅素數檢驗

• 盧卡斯-萊默檢驗法係依家已知嘅檢測梅森數素數嘅最好嘅方法。
  • 該方法基於循環數列嘅計算，其原理系：

M_n為素數當且僅當M_n整除S_{n -2}（S₀=4，S_k = S ²_{k − 1} − 2，k > 0），此數列為4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994, ... （OEIS數列A003010）

與完全數嘅關系

• 梅森素數與偶完全數有一一對應嘅關系。呢個結果稱為歐幾裡得－歐拉定理。
  • 前4世紀，歐幾裡得（Euclid）證明如果M系梅森素數，咁${\frac {M(M+1)}{2}}$系完全數。
  • 18世紀，歐拉（Euler）證明所有嘅偶完全數都有呢種形式。

相關問題同估想

• 係咪有冇窮多個梅森質數。
• 梅森質數點樣分佈。

梅森質數對應指數位數分布

梅森質數指數分布

位數/起始數字	1	2	3	4	5	6	7	8	9	總計
1位數		1	1		1		1			4
2位數	3		1			1		1		6
3位數	2				1	1				4
4位數	1	2	1	2					2	8
5位數	2	2		1				1		6
6位數	2	1					1	1		5
7位數	2	1	1			1				5
8位數	1	3	3	2	1		2	1		13
9位數	1									1

梅森質數一覽

  梅森遺漏嘅梅森質數

  GIMPS發現嘅梅森質數

  古代知嘅梅森質數

  以試除法發現嘅梅森質數

  拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現嘅梅森質數

  亞歷山大·赫維茲發現嘅梅森質數

  Donald B. Gillies發現嘅梅森質數

  Walt Colquitt & Luke Welsh發現嘅梅森質數

  拜仁特·塔克曼發現嘅梅森質數

下面表中列出晒所有已知嘅梅森質數：（OEIS數列A000668）

#	n	Mn	Mn嘅位數	發現日期	發現者	算法
1	2	3	1	公元前5世紀	古希臘數學家
2	3	7	1	公元前5世紀	古希臘數學家
3	5	31	2	公元前3世紀	古希臘數學家
4	7	127	3	公元前3世紀	古希臘數學家
5	13	8191	4	1456年	無名氏	試除法
6	17	131071	6	1588年	彼得·羅卡塔爾迪	試除法
7	19	524287	6	1588年	彼得·羅卡塔爾迪	試除法
8	31	2147483647	10	1772年	歐拉	優化嘅試除法
9	61	2305843009213693951	19	1883年	Ivan Mikheevich Pervushin	盧卡斯數列
10	89	618970019642690137449562111	27	1911年	Ralph Ernest Powers	盧卡斯數列
11	107	162259276829213363391578010288127	33	1914年	Ralph Ernest Powers	盧卡斯數列
12	127	170141183460469231731687303715884105727	39	1876年	爱德華·盧卡斯	盧卡斯數列
13	521	686479766013…291115057151	157	1952年1月30日	拉斐爾·米切爾·羅賓遜	盧卡斯-萊默檢驗法
14	607	531137992816…219031728127	183	1952年1月30日	拉斐爾·米切爾·羅賓遜	盧卡斯-萊默檢驗法
15	1,279	104079321946…703168729087	386	1952年6月25日	拉斐爾·米切爾·羅賓遜	盧卡斯-萊默檢驗法
16	2,203	147597991521…686697771007	664	1952年10月7日	拉斐爾·米切爾·羅賓遜	盧卡斯-萊默檢驗法
17	2,281	446087557183…418132836351	687	1952年10月9日	拉斐爾·米切爾·羅賓遜	盧卡斯-萊默檢驗法
18	3,217	259117086013…362909315071	969	1957年9月8日	Hans Riesel	盧卡斯-萊默檢驗法
19	4,253	190797007524…815350484991	1,281	1961年11月3日	亞歷山大·赫維茲	盧卡斯-萊默檢驗法
20	4,423	285542542228…902608580607	1,332	1961年11月3日	亞歷山大·赫維茲	盧卡斯-萊默檢驗法
21	9,689	478220278805…826225754111	2,917	1963年5月11日	Donald B. Gillies	盧卡斯-萊默檢驗法
22	9,941	346088282490…883789463551	2,993	1963年5月16日	Donald B. Gillies	盧卡斯-萊默檢驗法
23	11,213	281411201369…087696392191	3,376	1963年6月2日	Donald B. Gillies	盧卡斯-萊默檢驗法
24	19,937	431542479738…030968041471	6,002	1971年3月4日	拜仁特·塔克曼	盧卡斯-萊默檢驗法
25	21,701	448679166119…353511882751	6,533	1978年10月30日	Landon Curt Noll & Laura Nickel	盧卡斯-萊默檢驗法
26	23,209	402874115778…523779264511	6,987	1979年2月9日	Landon Curt Noll	盧卡斯-萊默檢驗法
27	44,497	854509824303…961011228671	13,395	1979年4月8日	Harry Nelson & David Slowinski	盧卡斯-萊默檢驗法
28	86,243	536927995502…209433438207	25,962	1982年9月25日	David Slowinski	盧卡斯-萊默檢驗法
29	110,503	521928313341…083465515007	33,265	1988年1月28日	Walt Colquitt & Luke Welsh	盧卡斯-萊默檢驗法
30	132,049	512740276269…455730061311	39,751	1983年9月20日	David Slowinski	盧卡斯-萊默檢驗法
31	216,091	746093103064…103815528447	65,050	1985年9月6日	David Slowinski	盧卡斯-萊默檢驗法
32	756,839	174135906820…328544677887	227,832	1992年2月19日	David Slowinski & Paul Gage	盧卡斯-萊默檢驗法
33	859,433	129498125604…243500142591	258,716	1994年1月10日	David Slowinski & Paul Gage	盧卡斯-萊默檢驗法
34	1,257,787	412245773621…976089366527	378,632	1996年9月3日	David Slowinski & Paul Gage	盧卡斯-萊默檢驗法
35	1,398,269	814717564412…868451315711	420,921	1996年11月13日	GIMPS／Joel Armengaud	盧卡斯-萊默檢驗法
36	2,976,221	623340076248…743729201151	895,932	1997年8月24日	GIMPS／Gordon Spence	盧卡斯-萊默檢驗法
37	3,021,377	127411683030…973024694271	909,526	1998年1月27日	GIMPS／Roland Clarkson	盧卡斯-萊默檢驗法
38	6,972,593	437075744127…142924193791	2,098,960	1999年6月1日	GIMPS／Nayan Hajratwala	盧卡斯-萊默檢驗法
39	13,466,917	924947738006…470256259071	4,053,946	2001年11月14日	GIMPS／Michael Cameron	盧卡斯-萊默檢驗法
40	20,996,011	125976895450…762855682047	6,320,430	2003年11月17日	GIMPS／Michael Shafer	盧卡斯-萊默檢驗法
41	24,036,583	299410429404…882733969407	7,235,733	2004年5月15日	GIMPS／Josh Findley	盧卡斯-萊默檢驗法
42	25,964,951	122164630061…280577077247	7,816,230	2005年2月18日	GIMPS／Martin Nowak	盧卡斯-萊默檢驗法
43	30,402,457	315416475618…411652943871	9,152,052	2005年12月15日	GIMPS／Curtis Cooper及Steven Boone	盧卡斯-萊默檢驗法
44	32,582,657	124575026015…154053967871	9,808,358	2006年9月4日	GIMPS／Curtis Cooper及Steven Boone	盧卡斯-萊默檢驗法
45	37,156,667	202254406890…022308220927	11,185,272	2008年9月6日	GIMPS／Hans-Michael Elvenich	盧卡斯-萊默檢驗法
46	42,643,801	169873516452…765562314751	12,837,064	2009年4月12日	GIMPS／Odd M. Strindmo	盧卡斯-萊默檢驗法
47	43,112,609	316470269330…166697152511	12,978,189	2008年8月23日	GIMPS／Edson Smith	盧卡斯-萊默檢驗法
48	57,885,161	581887266232…071724285951	17,425,170	2013年1月25日	GIMPS／Curtis Cooper	盧卡斯-萊默檢驗法
49*	74,207,281	300376418084…391086436351	22,338,618	2015年9月17日	GIMPS／Curtis Cooper	盧卡斯-萊默檢驗法
50*	77,232,917	467333183359…069762179071	23,249,425	2017年12月26日	GIMPS／Jon Pace	盧卡斯-萊默檢驗法
51*	82,589,933	148894445742…325217902591	24,862,048	2018年12月7日	GIMPS／Patrick Laroche	盧卡斯-萊默檢驗法
52*	136,279,841	881694327503…219486871551	41,024,320	2024年10月21日	GIMPS／Luke Durant	盧卡斯-萊默檢驗法

注：依家重未知喺第48個梅森質數（M_57885161）同第52個（M_136279841）之間有冇未知梅森質數，所以喺其序號之前用^*標出。

出面網頁

• （英文）Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS計劃
• （英文）Mersenne Primes: History, Theorems and Lists 梅森素數：歷史，定理，以及梅森質數一覽