費馬數

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費馬數係以數學家費馬命名嘅一組自然數,佢嘅樣係:

其中n係非負整數。

質數,可以得到 必須系 次方。(如果 ,其中 而且 係奇數,噉 ,即係 嘅因數。)亦即係講,所有 噉樣嘅素數一定係費馬數,呢些素數稱叫做費馬質數。已知嘅費馬質數只有 五個。

基本性質[編輯]

費馬數滿足以下嘅遞回關係

其中 。呢些等式都可以用數學歸納法推論出嚟。由最後一個等式中,我哋可以推出哥德巴赫定理:任何兩個費馬數都冇大於1嘅公因子。要推論出呢個,我哋需要假設 ,而且 同埋 有一個公因數 。咁 可以將

其他性質:

  • 嘅位數 ()可以表示成以 基數嘅樣。
  • 除咗 以外冇費馬數可以表示成兩個質數嘅和。
  • 係奇質數陣,冇費馬數可以表示成兩個數嘅 次方相減嘅形式。
  • 除咗 ,費馬數嘅最後一位係
  • 所有費馬數(OEIS中嘅數列A051158)嘅倒數之和係無理數。 (Solomon W. Golomb, 1963)

最小嘅費馬數[編輯]

351725765537429496729718446744073709551617OEIS中嘅數列A000215)。


素性檢驗[編輯]

假設為第n個費馬數。如果n唔等於零,咁:

係質數,當且只當

證明[編輯]

假設以下等式成立:

,於是滿足 嘅最小整數 一定整除,佢係 嘅次方。另一方面, 唔可以俾整除,因此佢一定等於。另外,存在至少個細過而且同互質嘅數,呢個只會喺係質數嘅時候先至發生。


假設係質數。根據歐拉准則,有:

,

其中勒讓德符號。利用重復平方,我哋可以發現,所以,以及。因為,根據二次互反律,我哋就可以得到結論