費馬數

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費馬數系以數學家費馬命名一組自然數,具有形式:

其中n為非負整數。

若2n + 1系素數,可以得到n必須系2嘅。(若n = ab,其中1 < a, b < nb为奇数,则2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0(mod 2a + 1),即2a + 1系2n + 1嘅因數。)也就系講,所有具有形式2n + 1嘅素數必然系費馬數,呢些素數稱為費馬素數。已知嘅費馬素數只有F0F4五個。

基本性質[編輯]

費馬數滿足以下嘅遞回關系

其中n ≥ 2。呢些等式都可以用數學歸納法推出。從最後一個等式中,我哋可以推出哥德巴赫定理:任何兩個費馬數都冇大於1嘅公因子。要推出呢個,我哋需要假設 0 ≤ i < jFiFj 有一個公因子 a > 1。咁 a 能把

其他性質:

  • Fn嘅位數D(n,b)可以表示成以b基數就系
  • 除咗F1 = 2 + 3以外冇費馬數可以表示成兩個素數嘅和。
  • p系奇素數陣,冇費馬數可以表示成兩個數嘅p次方相減嘅形式。
  • 除咗F0和F1,費馬數嘅最後一位系7。
  • 所有費馬數(OEIS中嘅數列A051158)嘅倒數之和系無理數。 (Solomon W. Golomb, 1963)

最小嘅費馬數[編輯]

351725765537429496729718446744073709551617OEIS中嘅數列A000215)。


素性檢驗[編輯]

為第n個費馬數。如果n唔等於零,咁:

系素數,當且僅當

證明[編輯]

假設以下等式成立:

,因此滿足3k=1(mod)嘅最小整數k一定整除,佢系2嘅冪。另一方面,k唔得整除,因此佢一定等於。特咪地,存在至少個小於且與互素嘅數,呢只能喺系素數時才能發生。


假設系素數。根據歐拉准則,有:

,

其中勒讓德符號。利用重復平方,我哋可以發現,因此,以及。因為,根據二次互反律,我哋便可以得出結論