稠密集

在拓撲學，畀一個拓撲空間 X 同子集 A ，如果對於 X 入面任何一點 x，x 嘅任一鄰域同 A 嘅交集不為空，則 A 稱為在 X 中稠密。直觀上，如果 X 中的任一點 x 可以被A中的點很好的逼近，則稱 A 在 X 中稠密。

等價地說，A 在 X 中稠密當且僅當 X 中唯一包含 A 的閉集是 X 自己。或者說，A 的閉包是 X ，又或者 A 的內部是空集。

度量空間中的稠密集

在度量空間(E,d)中，也可以定義稠密集為： A 在 E 的一個子集 X 中稠密當且僅當對於 X 中的任一元素 x ，都存在 A 中的一個元素列，其極限是 x 。

如果 E 是一個完備的度量空間，那麼一列在 E 中稠密的開集 ${U_{n}}_{n\leq 1}$ 的交集：$\cap _{n=1}^{\infty }U_{n}$ 仍然在 E 中稠密。這個結論可以由貝爾範疇定理直接推出。

例子

• 每一拓撲空間是其自身的稠密集。
• 有理數域和無理數域是實數域中的稠密集（在通常拓撲意義下）。
• 度量空間$M$是其完備集$\gamma M$中的稠密集。

睇埋

• 可分空間 存在可數稠密集的空間。
• 無處稠密集 意如其文。