無理數

數學嘅數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整數 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

無理數，即係唔係有理數嘅實數，唔能夠寫成兩個整數嘅比。若果將佢寫成小數形式，小數點之後嘅數字就會有無限咁多個，而且唔會循環。常見嘅無理數有大部分嘅平方根、π同e（其中後兩者同時係超越數）等。無理數嘅另一個特徵係無限嘅連分數表達式。

傳說中，無理數最早係由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。佢用幾何方法證明$\sqrt{2}$無辦法用整數以及分數嚟表示。而畢達哥拉斯深信任意數都可以用整數同分數嚟表示，唔相信無理數嘅存在。但係佢始終證明唔到$\sqrt{2}$唔係無理數，後來希伯斯將無理數透露畀外人知道，佢本人因為呢次知識外泄觸犯學派章程而俾人處死，罪名等同於「瀆神」。

例子

• $\sqrt{3}$ = 1.73205080……
• lg3 = 0.47712125……
• π = 3.141592653……

唔知係咪無理數嘅數

對於非零整數 m 及 n，唔知 mπ + ne 係唔係無理數。

我哋亦都唔知道 2^e, π^e, $\pi^\sqrt{2}$ 或者 歐拉-馬歇羅尼常數 γ 係咪無理數。

無理數集嘅特性

無理數集係不可數集（因有理數集係數得到而實數集係數唔到嘅）。無理數集係一個唔完備嘅拓撲空間，佢係同所有正數數列嘅集拓撲同構嘅，當中嘅同構映射係無理數嘅連分數開展。因而Baire category theorem可以應用喺無數間嘅拓撲空間上。