p進數

p 進數（英文：p-adic number）係由 Kurt Hensel 喺 1897年首先引入。對於每個質數 p ， p 進數系統將有理數嘅普通算術用一種同實數同複數系統唔同嘅方法進行擴展。喺呢個過程入面 p 進絕對值扮演咗一個好重要嘅角色。p 進數主要係被一次將冪級數嘅思想同技術引入到數論當中嘅嘗試所推動，但係佢哋而家嘅影響唔止咁簡單。例如：p進數分析呢一個領域實際上提供咗另一種形式嘅微積分。

更精確啲嚟講，假定一個質數 p，咁p 進數嘅域 Q_p 就係有理數嘅擴展；將所有 Q_p 域放埋喺一齊嚟做考量，就會得出 Helmut Hasse 嘅局部-全體原則。呢個原則嘅大意係特定方程組在有理數上有解若且唯若佢哋係實數上同埋所有質數 p 嘅 p 進數上有解。域 Q_p 亦都係一個度量拓撲空間，呢個度量唔同平時多人用開嘅實數度量。呢個度量亦都係完備嘅（每個柯西列收斂）。咁樣使到 Q_p 上可以引入微積分，呢個分析同代數結構嘅交互影嚮之下畀 p 進數系統實際嘅價值同用途。

喺橢圓曲線嘅研究入面，因為讓—皮埃爾塞雷嘅作品關係， 所以 p 進數通常俾人叫做 $\ell$ 進數。

基礎

以下呢幾個基本概念有助理解同埋探討 p 進數嘅理念，同埋佢喺數學分析、代數同埋數論入面嘅意義：

絕對值、度量

内文：絕對值同度量

一個數字系統，例如整數、有理數，原本只有代數結構，淨係可以考慮上面嘅四則運算。絕對值、度量嘅概念爲數字系統賦予一個「形狀」，定義何謂「遠近」、「大細」、「長短」，係研究幾何學同埋分析嘅基礎。度量就係指兩個數之間嘅距離，而絕對值可以理解做一個數同 0 之間嘅距離。假如用$|\cdot |$嚟表示一個絕對值，$d(\cdot ,\cdot )$嚟表示一個度量，咁可以用以下兩條式去聯繫起佢哋：

$|x|=d(x,0)$

$d(a,b)=|a-b|$

有理數上面一個常見嘅度量就係直觀上數字嘅大細，例如$|5|=5$，$|-3|=3$，$d(2,8)=8-2=6$等等，呢個可以叫做歐幾里得度量、歐幾里得絕對值，賦予畀有理數嘅形狀係一條直線，係歐幾里得幾何嘅基礎。

P進數對應嘅度量係比較同數論有關嘅，佢取決於兩個數嘅差被 p 除嘅次方，次方越大，距離越近。例如喺 5-進數入面，想計 3 同 178 呢兩個數嘅距離。$178-3=175=5^{2}\times 7$，所以$d_{5}(3,178)=|178-3|_{p}=|5^{2}\times 7|=5^{-2}={\frac {1}{25}}$，係比較近嘅。

根據 Ostrowski 定理，有理數$\mathbb {Q}$上面嘅非平凡絕對值，一係等價於歐幾里得絕對值，一係等價於某個質數 p 嘅 p 進絕對值。

完備性

完備性係度量之上嘅一個概念，係講緊一個數字系統入面嘅數列能唔能夠收斂，有咗佢先至可以做微積分。考慮有理數$\mathbb {Q}$入面嘅一條條尾越來越近嘅數列：$1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\ldots$，呢個數列收斂到${\sqrt {2}}$，而佢並唔係一個有理數。咁即係話一條每一個項都係有理數嘅數列，個結果可以係收斂到一個無理數，亦即係有理數係唔完備嘅。呢個現象對於做數學分析嚟講係好差嘅，如果要做數學分析，就一定要先將有理數「完備化」。

所謂完備化即係將啲「窿」補返，強行令到所有柯西列都收斂，實數$\mathbb {R}$就係有理數$\mathbb {Q}$嘅其中一個完備化，可以睇做建基於上面所講嘅歐幾里得絕對值嘅完備化。但係呢個只係其中一個方向，如果對 p 進絕對值做完備化嘅話，得到嘅數字系統就係 p 進數。

如果將$\mathbb {Q}$嘅所有完備化，即係$\mathbb {R}$同所有嘅 p-進數 $\mathbb {Q} _{p}$擺嗮埋一齊嘅話，就得到有理數嘅adele 環$A_{\mathbb {Q} }$。

投影極限

内文：投影極限

一個數列如果愈來愈接近一個數，咁呢個數就係個數列嘅極限。投影極限就係集合，或者更一般嚟講，數學結構層面上面嘅一個相似嘅概念。數字同數字之間有距離呢個概念，令到可以定義極限。數學結構之間就要用態射嚟取代距離呢個概念。喺投影極限裏面，呢啲態射可以理解做投影映射。舉個例：假設 $X_{1}=\mathbb {R}$，$X_{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$，如此類推，$X_{n}=\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}$，並且設 $p_{k}:X_{k+1}\mapsto X_{k}$，$p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k},x_{k+1})=(x_{1},\ldots ,x_{k})$，即係話投影映射係切走咗最後一個座標。咁嘅話$p_{1}$就好易理解：佢係將 xy-平面上面嘅點垂直投影落去 x-軸上面，其他嘅 $p$ 只係佢嘅高維度版本。係呢個情況，我哋叫$X_{1}\leftarrow X_{2}\leftarrow \cdots \leftarrow X_{n}\leftarrow \cdots$做一個投影系統，直觀上呢個投影系統有一個「極限」$X_{\infty }=\mathbb {R} ^{\infty }$，由呢個極限可以投影返落去系統入面任何一個集，做法係「切走條尾」：${\tilde {p}}_{k}:X_{\infty }\to X_{k}$，${\tilde {p}}_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})$。極限除咗可以投影返落去個系統之外，仲有一個性質：佢係可以投影嘅集之中最細嗰個，呢個最細係要用萬有性質嚟定義嘅。

定義

p進數主要可以用兩個方向去定義、理解。一個係分析角度，針對「有理數喺p範數之下唔完備」呢一點，將有理數完備化就係p進數。另一個係數論角度，整數攞p嘅唔同次方嘅商餘嗰陣形成一個投影系統，攞呢個投影系統嘅極限就係p進整數。

分析角度：有理數嘅完備化

實數可以睇做有理數對於平時用嘅絕對值做嘅完備化，而所謂完備化係透過柯西列嘅等價類來實現嘅。p進數都類似，只不過用嘅絕對值變咗做p進絕對值。

揀定一個質數p，$\mathbb {Q}$上面嘅p進絕對值係噉定義嘅：任何一個非零有理數$x\in \mathbb {Q}$，有唯一一個方法寫做$x=p^{n}{\frac {a}{b}}$，當中要求a, b唔被p整除。噉樣寫咗之後，就定義$|x|=p^{-n}$，另外定義$|0|_{p}=0$。

例如 x = 63/550 = 2⁻¹·3²·5⁻²·7·11⁻¹

${\begin{aligned}&|x|_{2}=2\\[6pt]&|x|_{3}=1/9\\[6pt]&|x|_{5}=25\\[6pt]&|x|_{7}=1/7\\[6pt]&|x|_{11}=11\\[6pt]&|x|_{\text{any other primes}}=1\end{aligned}}$

呢個p進絕對值定義嘅效果係，一個數佢有越大嘅p嘅次方，個數就越「細」。

p進絕對值可以喺$\mathbb {Q}$上面誘導一個度量$d_{p}$：

$d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$

p進數$\mathbb {Q} _{p}$就可以定義做度量空間$(\mathbb {Q} ,d_{p})$嘅完備化。入面嘅元素就係柯西列嘅等價類，當中兩條柯西列等價若且唯若佢哋嘅差收斂到0。可以檢查$\mathbb {Q} _{p}$依然係一個場，而且裝住$\mathbb {Q}$。呢個$\mathbb {Q} _{p}$係一個局部場。

$\mathbb {Q} _{p}$入面每一個元素$x$都可以而唯一一個方法寫做$x=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}$，當中：

1. $k$係一個整數（可以係負）
2. $a_{k}\neq 0$
3. $a_{i}$係喺一個固定嘅集$X$入面，$X$係商餘p嘅一個完全剩餘系，最常用嘅係$X=\{0,1,\cdots ,p\}$或者$\left\{-{\frac {p-1}{2}},-{\frac {p-1}{2}}+1,\cdots ,{\frac {p-1}{2}}\right\}$

p進整數就係嗰啲k係非負數嘅元素，所以$\mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} [1/p]+\mathbb {Z} _{p}$，當中$\mathbb {Z} [1/p]$即係分母係p嘅次方嘅有理數。

代數/數論角度：商餘嘅投影極限

喺代數嘅角度，會整咗p進整數環先，呢個環嘅域中分數場（field of fractions）就係p進數。

揀定一個質數p，考慮一系列嘅環$\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$嘅投影極限：一個p進整數m就係一個數列$(a_{n})_{n\geq 1}$，每一個$a_{n}$都係$\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$入面嘅元素，而且對任何$n\leq l$，$a_{n}\equiv a_{l}(\mathrm {mod} \;p^{n})$呢件「相容條件」都係啱嘅。

任何自然數 m 都可以用 $a_{n}\equiv m(\mathrm {mod} \;p)$呢條式對應一個p進整數，例如，對p=2，35可以對應數列$(1,3,3,3,3,35,35,\ldots )$。要留意嘅係，對任何自然數m嚟講，只要個n足夠大，之後嘅$p^{n}$都會大過m，亦即係話，呢條數列遲早都會「唔郁」，例如頭先噉，第6個項開始，打後全部都係35，因爲$2^{6}=64>35$。

喺呢個環入面，加法就係逐個座標做「加法然後攞商餘」，乘法都係類似，呢個定義係良好嘅，因爲加法同乘法都同商餘運算交換，詳情可以睇商餘計算。

除法嚟講，任何第一個項$a_{1}\not \equiv 0(\mathrm {mod} \;p)$嘅數列都有乘法逆，原因係：每一個$a_{n}$同p都互質，所以$a_{n}$同pⁿ都互質，所以可以逐項搵餘pⁿ嘅乘法逆，而且搵出來嘅逆會自動符合相容條件，所以都係一個p進整數。例如，考慮2進整數7，佢可以寫做$(1,3,7,7,7,7,7,\ldots )$，佢嘅乘法逆就係越來越大嘅數列$(1,3,7,7,23,55,55,183,439,439,1463,\ldots )$，因爲呢個數列並唔符合頭先講嘅「遲早唔郁條件」，所言呢個數並唔係一個自然數。返返去有理數$\mathbb {Q}$嘅角度去睇其實都好合理，因爲${\frac {1}{7}}$唔係一個自然數。

p進整數環無零因數，即係話佢係一個域，所以可以定義佢嘅域中分數場$\mathbb {Q} _{p}$，呢個就係p進數，特別嘅係，喺呢個域中分數場入面，每一個非整數p進數都可以用唯一嘅寫法寫做$p^{-n}u$，當中n係自然數，u係可逆p進整數。即係話：

${\begin{aligned}\mathbb {Q} _{p}&=&\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} _{p})&=&(p^{\mathbb {N} })^{-1}\mathbb {Z} _{p}\\\mathbb {Q} _{p}^{\times }&=&\bigsqcup (p^{\mathbb {Z} })\mathbb {Z} _{p}^{\times }&&\end{aligned}}$

注意$p^{\mathbb {N} }=\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}$係一個乘法子集，所以$\mathbb {Q} _{p}$可以睇做$\mathbb {Z} _{p}$對$p^{\mathbb {N} }$嘅局部化。

p 進分析

内文：P進分析

p進分析係同實分析平行嘅一門學科，主要研究p進數函數嘅連續性、微積分等等。p進數符合比三角不等式更強嘅強三角不等式，係p進分析同實分析唔同嘅主要原因。強三角不等式令p進數嘅集形成一個超度量空間（ultrametric space），超度量空間入面有啲普通度量空間無嘅性質，例如一個波入面任何一點都係個波嘅圓心；相對嚟講，實分析入面嘅波只有一個圓心。函數方面，p進數上面嘅連續函數一定係局部常函數（locally constant function），而係實數上面，局部常函數就即係常函數（constant function），而且大部分連續函數都唔係常函數。

Hensel引理

内文：Hensel 引理

Hensel引理即係p進數版本嘅牛頓法，喺理論同埋計算嘅層面都好有用。理論方面，Hensel引理可以用嚟證明某啲多項式喺$\mathbb {Z} _{p}$入面有解；計算方面，Hensel引理自己就係個演算法，可以將一條多項式喺$\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$入面嘅解（稱爲近似解）提升去$\mathbb {Z} _{p}$上面嘅解。

Hensel引理最簡單嘅版本係噉嘅：設$f\in \mathbb {Z} _{p}[x]$係一條多項式，而且存在一個數$a_{0}\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$符合$f(a_{0})\equiv 0{\pmod {p}}$同埋$f'(a_{0})\not \equiv 0{\pmod {p}}$（即係$a_{0}$係一個簡單解），噉$a_{0}$就可以以唯一方法提升去一個數$\alpha \in \mathbb {Z} _{p}$，佢符合$f(\alpha )=0$同埋$\alpha \equiv a_{0}{\pmod {p}}$.

p 進螺線管

内文：P 進螺線管

由整數構作出好似螺線管噉嘅實數線。

揀定一個質數p，可以考慮以下嘅投影系統：$\mathbb {R} /\mathbb {Z} \leftarrow \mathbb {R} /p\mathbb {Z} \leftarrow \mathbb {R} /p^{2}\mathbb {Z} \leftarrow \cdots$，當中每一步嘅投影映射係攞自然嘅商餘，入面其實每一步嘅$\mathbb {R} /p^{k}\mathbb {Z}$都係一個圓形，而對下一級嘅投影映射就係一個p:1嘅覆蓋映射。可以驗證呢個真係一個投影系統，而攞佢嘅投影極限得出嚟嘅空間就叫做p進螺線管（p-adic solenoid）。呢個p進螺線管仲有另一個角度睇佢，就係$\mathbb {Z} _{p}$嘅映射環面（mapping torus）：考慮積空間$\mathbb {Z} _{p}\times [0,1]$，並考慮等價關係$(x,1)\sim (x+1,0)$，攞呢個等價關係嘅商空間$(\mathbb {Z} _{p}\times [0,1])/\sim$，可以證呢個商空間同上面個投影系統係同構嘅。有趣嘅係，對$\mathbb {Z} \times [0,1]$攞類似嘅商餘嘅話，得到嘅空間就係$\mathbb {R}$，而且畫出嚟真係好似一條螺線管噉。

p進螺線管有個有趣嘅性質，就係佢同時裝住$\mathbb {R}$同$\mathbb {Q} _{p}$兩個完備場，準確啲嚟講，$\mathbb {R}$同$\mathbb {Q} _{p}$都可以好自然咁嵌入去p進螺線管入面。