無限大

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數學
基本

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

自然數 \mathbb{N}
整數 \mathbb{Z}
二進分數
有限小數
循環小數
有理數 \mathbb{Q}
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
代數數 \mathbb{A}
實數 \mathbb{R}
複數 \mathbb{C}

負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數 \mathbb{Z}[\omega]

延伸

雙複數
四元數 \mathbb{H}
共四元數
八元數 \mathbb{O}
超數
上超實數
超現實數

超複數
十六元數 \mathbb{S}
複四元數
Tessarine
大實數
超實數 {}^\star\mathbb{R}

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = +\sqrt{-1}
無窮大量 

無窮無限大數學符號為∞。來自拉丁文嘅「infinitas」,即係「冇邊界」咁解。佢喺神學哲學數學同埋日常生活中有唔同嘅概念。通常用呢個詞嘅時候唔涉及更加技術層面嘅定義。

喺神學方面,例如喺神學家東斯歌德(Duns Scotus)嘅著作中,上帝嘅無限能量係運用喺無約束上,而唔係運用喺無限量上。喺哲學方面,無窮可以歸因於空間同埋時間。喺神學同埋哲學兩方面,無窮又作為無限,好多文章都探討過無限、絕對、上帝同埋芝諾悖論等嘅問題。

喺數學方面,無窮同埋以下嘅主題或概念相關:數學嘅極限阿列夫數集合論中嘅、戴德金-無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何擴展嘅實數軸同埋絕對無限。喺一啲主題或概念中,無窮被認為係一個超越邊界而增加嘅概念,而唔係一個數。

喺大眾文化方面,《反斗奇兵》入面巴斯光年嘅口頭禪:「To infinity and beyond!」(到達無窮,超越無窮),呢句話亦可以睇成研究大型基數嘅集合論者嘅吶喊。

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早期無限觀點[編輯]

最早關於無限嘅記載出現喺印度夜柔吠陀(西元前1200-900)。書中話:「如果你從無限移走或添加一部分,剩低嘅都係無限。」

印度耆那教嘅經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC)將數分作三類:「計到嘅」、「計唔到嘅」同埋「無限」。每一類再細分作三序分:

  • 計到嘅:小嘅、中嘅同埋大嘅。
  • 計唔到嘅:接近冇得計嘅、真正冇得計嘅同埋計無可計嘅。
  • 無限:接近無限、真正無限同埋無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中嘅阿基米德手稿,喺殘卷《方法》命題14中,發現阿基米德開始計算無窮大嘅數目。佢採取近似於19世紀微積分同埋集合論嘅手法,計算咗兩組無窮大嘅集合,以求同埋嘅方法,證明佢哋之間嘅數目係相等嘅。

呢樣喺人類記載上第一次出現無限都可以分類呢一個念頭。

文藝復興時代至近代[編輯]

伽利略最先發現一個集合同佢自己嘅正適子集可以有相同大細。

佢用上一一對應嘅概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}同子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就係1→1、2→4、3→9、4→16、…

一一對應正係用於研究無限必要嘅手法。

神學之中嘅無窮[編輯]

人眼中嘅無限喺上帝眼中都係有限,人無法理解上帝嘅無限,因為上帝冇允許人跨越過上帝嘅知識範圍。

數學中嘅無窮[編輯]

對於無限有以下解釋或定義:

「無限唔係指邊界外就冇嘢,而係指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

實分析中嘅無窮[編輯]

實分析中,符號 \infty 稱為「無窮」,代表無界極限x \to \infty 表示 x \quad 超過任何一個數,x \to -\infty 表示 x \quad 最終細過任何一個數。標記為 \infty 同埋 -\infty 嘅點加入到實數組成嘅拓撲空間,就產生實數集嘅「兩點緊致化」。再加入代數屬性,就可以得到超實數。亦可以將 \infty 同埋 -\infty 作為一個點,並得到實數嘅「一點緊致化」,亦即係實射影線射影幾何喺平面幾何上引入無窮遠線,喺高維上亦有類似概念。

無窮大同埋無窮小[編輯]

一般講無窮指嘅都係無窮大,但係無窮小亦係一種無窮。通過 y=1/x 嘅映射即可以將無窮大映射為無窮細。喺微積分中,常用高階無窮小嘅概念。

無窮遠點[編輯]

無窮遠點係一個加喺實數軸上後得到實射影直線\mathbb{R}P^1嘅點。

集合論中嘅無窮[編輯]

集合論中對無窮有不同嘅定義。德國數學家康托爾提出,對應於唔同無窮集合嘅元素嘅個數(基數),有唔同嘅「無窮」。

呢度比較唔同嘅無窮嘅「大細」嘅時候唯一嘅辦法就係通過可唔可以建立「一一對應關係」來判斷,而拋棄歐幾里得「整體大於部分」嘅看法。例如整數集同埋自然數集由於可以建立一一對應嘅關係,佢哋就具有相同嘅無窮基數

例如,

  • 可數集合,好似自然數集整數集乃至有理數集對應嘅基數被定義為阿列夫0(\aleph_0)。
  • 比可數集合「大」嘅稱之為不可數集合,好似實數集,佢嘅基數同埋自然數嘅冪集相同(2^{\aleph_0})。
  • 由於一個無窮集合嘅冪集總係具有比佢本身更高嘅基數,所以通過構造一系列嘅冪集,可以證明無窮嘅基數嘅個數係無窮嘅。然而,無窮基數嘅個數比任何基數都多,從而佢係一個比任何無窮大都要大嘅「無窮大」,佢唔可以對應於一個基數,否則會產生康托爾悖論嘅一種形式。

無窮嘅虛數形式標記[編輯]

無窮係自然科學理論同埋現象描述中嘅重要概念同埋思想,假設:

s = \arctan \left( i \right)i^2 = -1 \quad

通過Euler公式可以得到:

-i \times \tanh(i \cdot s) = \tan(s) = i
\exp(i \cdot s) = 0

咁表明 is \quad 係對負無窮大(- \infty)予以虛數形式嘅標記[1]

無窮影像[編輯]

被普遍認為嘅「兩塊產生無窮影像」實際上係錯嘅。首先,喺物理學界,速度係有限嘅(大概每秒 300,000,000 米),可以喺鏡上面睇到嘅影像係因為光喺鏡上反射至會出現。但係,光嘅速度有限,因此兩塊鏡產生嘅影像亦會有限,而且影像嘅數目會以一直變慢嘅增長率增加。

參考[編輯]

  1. YAN Kun. Primary annotation of symbol basing on imaginary form about infinity(R).Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute, 18 March 2009.

睇埋[編輯]