布倫特-維塞拉頻率

布倫特-維賽拉頻率係講緊大氣層入面浮力震盪嘅頻率。佢代表一嚿氣塊對於因為對流活動而產生嘅垂直方向運動嘅穩定性。佢由威爾斯氣象學家大衛‧布倫特同埋芬蘭氣象學家維爾霍‧維賽拉發現。

數學表示式

布倫特-維賽拉頻率嘅數學表示式係：

$N={\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}}}={\sqrt {g{\frac {d(\ln \theta )}{dz}}}}$

其中 $N$ 係布倫特-維賽拉頻率，$g$ 係地球表面嘅重力加速度，$\theta$ 係環境嘅位溫，$z$ 係由地面計起嘅高度。

因為當 $N$ 係實數嘅時侯平方根裏面嘅表達式一定係非負實數，呢條式只會喺 ${\frac {\partial \theta }{\partial z}}\geq 0$ 嘅時候成立。留意返 ${\frac {\partial \theta }{\partial z}}>0$ 代表大氣穩定，${\frac {\partial \theta }{\partial z}}=0$ 代表大氣中性，${\frac {\partial \theta }{\partial z}}<0$ 代表大氣唔穩定。

證明

根據流體靜力平衡，

${\frac {\partial p(z)}{\partial z}}=-\rho (z)g$

其中 $\rho$ 係流體密度。呢條公式講緊喺高度 $z$ 上面，一個單位體積嘅氣塊受到嘅壓力 $-{\frac {\partial p}{\partial z}}{\hat {z}}$ 同佢自己嘅重力 $-\rho g{\hat {z}}$ 互相抵消。成個大氣層大致上都符合流體靜力平衡。

所以，喺 $z+\delta z$ 嘅高度，氣塊周圍嘅環境都會符合流體靜力平衡：

${\frac {\partial p(z+\delta z)}{\partial z}}=-\rho (z+\delta z)g$

依家考慮一嚿氣塊由高度 $z$ 郁到去 $z+\delta z$。隨著高度嘅變化，環境氣壓都會變，令到嚿氣塊進行絕熱過程，直到氣塊嘅壓強同埋同一個高度嘅環境氣壓一樣為止。噉樣嚿氣塊就唔會因為同水平方向之間有壓強梯度而發散或者集中。但係，絕熱過程都唔會確保嚿氣塊唔會受到垂直方向嘅壓力影響。事實上，當嚿氣塊去到新嘅高度，佢嘅壓力同埋重力唔平衡，所以會喺垂直方向加速。

喺絕熱過程裏面，嚿氣塊嘅狀態方程係：

$p_{a}(z)^{1-\gamma }T_{a}(z)^{\gamma }=p_{a}(z+\delta z)^{1-\gamma }T_{a}(z+\delta z)^{\gamma }$

其中 $T$ 代表溫度，$\gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}$ 係絕熱指數。符號右下角嘅 $_{a}$ 係用嚟分開氣塊同埋環境嘅參數。

執下啲項就可以得到：

${\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}=\left[{\frac {T_{a}(z)}{T_{a}(z+\delta z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

將用咗氣象學單位嘅理想氣體狀態方程 $p=\rho RT$ 代落去之後，就會有：

${\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}=\left[{\frac {p_{a}(z)}{p_{a}(z+\delta z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}\left[{\frac {\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

$\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{1-\gamma }}=\left[{\frac {\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

$\rho _{a}(z+\delta z)=\rho _{a}(z)\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}$

依家考慮位溫嘅定義：

$\theta =T\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{1-{\frac {1}{\gamma }}}$

其中 $p_{s}$ 係海平面氣壓。再代多次理想氣體狀態方程就會有：

$\theta ={\frac {p}{\rho R}}\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$

$\theta =p^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {1}{\rho R}}\right)$

喺高度 $z$，環境位溫係：

$\theta (z)=p(z)^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left[{\frac {1}{\rho (z)R}}\right]$

喺高度 $z+\delta z$，環境位溫係：

$\theta (z+\delta z)=p(z+\delta z)^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left[{\frac {1}{\rho (z+\delta z)R}}\right]$

要小心呢度嘅 $\rho$ 係環境密度，而唔係嚿氣塊嘅密度 $\rho _{a}$。

將呢兩條式相除就會得到：

${\frac {\theta (z+\delta z)}{\theta (z)}}=\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}\left[{\frac {\rho (z)}{\rho (z+\delta z}}\right]$

$\rho (z+\delta z)=\rho (z)\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}$

返到嚟嚿氣塊呢度，喺新嘅高度 $z+\delta z$，佢受到嘅壓力係 $-{\frac {\partial p(z+\delta z)}{\partial z}}{\hat {z}}=\rho (z+\delta z)g{\hat {z}}$，而佢受到嘅重力係 $-\rho _{a}(z+\delta z)g{\hat {z}}$。所以，嚿氣塊受到嘅淨力就係：

$\rho (z+\delta z)g{\hat {z}}-\rho _{a}g(z+\delta z){\hat {z}}$

$=\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$

根據牛頓第二定律，單位體積氣塊嘅加速度係：

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}={\frac {1}{\rho _{a}}}\left({\frac {\vec {F}}{V}}\right)$

因為單位氣塊喺高度 $z+\delta z$ 受到嘅淨力係 ${\frac {\vec {F}}{V}}=\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$，佢嘅運動方程係：

${\vec {a}}={\frac {1}{\rho _{a}(z+\delta z)}}\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$

又因為嚿氣塊只係向垂直方向加速，即係 ${\vec {a}}=a{\hat {z}}$，我哋可以無視咗個單位向量 ${\hat {z}}$ 將佢變成一條只有標量嘅公式：

$a={\frac {\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z+\delta z)}}g$

根據加速度嘅定義，再當 $z$ 係常數，

$a={\frac {d^{2}(z+\delta z)}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}$

將上面嘅結果代落去條運動方程右手邊嘅分數，會得到：

${\frac {\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z+\delta z)}}$

$={\frac {\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}-\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}{\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}}$

因為嚿氣塊嘅壓強同埋同一個高度嘅氣壓一樣，會有：

$p_{a}(z)=p(z)$ 同埋 $p_{a}(z+\delta z)=p(z+\delta z)$

所以上面條式等於：

${\frac {\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}-\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}{\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}}$

$={\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}-1$

$={\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}$

於是，嚿氣塊準確嘅運動方程係：

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=g{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}=g\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}-1\right]$

呢個係一條超級難解嘅非線性二階常微分方程。所以，我哋要將佢線性化之後再解。

方程右面嘅分數可以寫成：

${\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}$

$={\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}\cdot {\frac {\delta z}{\theta (z+\delta z)}}$

$={\frac {1}{\theta (z+\delta z)}}{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}\delta z$

因為嚿氣塊震盪嘅幅度太細，我們可以攞 $\delta z\rightarrow 0$ 呢個極限，令到 $\lim _{\delta z\rightarrow 0}\theta (z+\delta z)=\theta (z)$ 同埋 $\lim _{\delta z\rightarrow 0}{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}=-{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}$。所以上面條式就變成：

$-{\frac {1}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z$

嚿氣塊嘅運動方程就可以重新寫成：

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z$

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z=0$

因為 $z$ 同埋 $\delta z$ 互相獨立，${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}$ 可以當做常數，而嚿氣塊嘅運動方程就係一條用 $\delta z$ 嚟做變量嘅常係數二階常微分方程，佢個樣同簡諧震動條方程 ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$一模一樣。用特徵方程法就可以解到：

$\delta z=C_{1}e^{iNt}+C_{2}e^{-iNt}=A\cos(Nt)+B\sin(Nt)$

當中 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}>0$。由條式可以見到嚿氣塊的確係做緊簡諧震動。$C_{1},\,C_{2},\,A,\,B$ 都係常數，$N={\sqrt {{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}}}$ 就係嚿氣塊垂直震盪嘅頻率，亦即係布倫特-維賽拉頻率。

留意當 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}=0$ 嘅時侯，布倫特-維賽拉頻率就會變成 $0$，而條運動方程會變做 ${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=0$。佢嘅解係 $\delta z=\delta z_{0}+wt$，其中 $\delta z_{0}$ 是係氣塊原本嘅位移，而 $w$ 係氣塊嘅垂直速度。於是，嚿氣塊會穩定升降。

如果 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}<0$，布倫特-維賽拉頻率係虛數，方程嘅解就會變成 $\delta z=C_{1}e^{{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}+C_{2}e^{-{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}$。無視 $C_{2}e^{-{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}$ 呢嚿比較細嘅項，可以睇得出氣塊嘅位移會隨著時間指數式增加，大氣層嚟緊會有持續嘅對流活動。