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Elo 等級分

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呢兩位棋手,邊個技術好啲呢?有冇方法可以計個數嚟反映呢樣嘢?

Elo 等級分制度英文Elo rating system,當中 Elo 好接近粵拼ji1 lou4假借漢字伊勞)係一套評估一隻遊戲玩家技術幾好嘅做法,適用於好似中國象棋國際象棋等嘅零和遊戲[1]。除咗呢啲棋類遊戲,廿一世紀初嘅電競都會用到伊勞等級分嚟衡量啲玩家嘅技術[2]

諗頭

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「要量度一個個體嘅等級分,我諗就好似量度一嚿水松木嘅位置... 當中嚿水松木喺翻滾嘅水面郁上郁落,量度者用嘅架生係一條碼棍,條碼棍綁咗喺一條喺風中擺動嘅繩度。」[註 1][3]

—伊勞等級系統嘅創始人阿柏特·伊勞[歐 1]

首先,伊勞等級系統假設咗隻遊戲零和[歐 2]嘅:如果話一隻遊戲係零和,簡單講意思即係話場遊戲只有其中一位或者一隊玩家會贏,再唔係就打和,冇得話例如兩方玩家一齊贏[4]中國象棋國際象棋圍棋同埋多數嘅 PvP 視像遊戲(好似係畀玩家互射嘅射擊遊戲)都屬於零和遊戲。

齋靠日常觀察已知,玩家之間喺技術上可以有差異[註 2]:有啲玩家無論同邊個對局,都有好大機率贏,而有啲玩家就無論同邊個對局,都大機率輸;好多人都想搵方法客觀量度玩家嘅技術有幾好,例如搞國際象棋比賽嘅組織就成日都想評估棋手嘅技術,伊勞就係其中一套最成功嘅系統;而用行話講,伊勞能夠達致等距噉量度技術呢樣嘢[5]

喺伊勞等級系統下,每位玩家都掕住個伊勞值[歐 3],而個系統會不斷噉[6]:2.2

  • 基於兩位玩家而家呢刻嘅伊勞,預估賽果;
  • 對局完咗之後,噏哋ap1 dei1每位玩家嘅伊勞,伊勞改變幅度取決於個結果有幾「出人意表」;
  • 經歷咗好多次噏哋之後,每位玩家會到達佢嘅最後伊勞,呢個最終伊勞就會(唔完美噉)反映佢嘅實際技術水平。

以下落嚟講嘅數學細節,假設讀者學過基本嘅概率論統計學,識機會率平均值等嘅基本概念。

基本模型

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最基本嗰隻伊勞制度會用到嘅概念,可以用以下噉嘅方式數學化

技術幾高

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睇埋:常態分佈

已知一個事實:每位玩家嘅表現,梗會或多或少有啲飄忽;技術好嘅玩家可能有一日狀態唔好,搞到連輸幾場;而技術冇咁好嘅玩家,亦有可能咁啱撞正狀態大好而連贏幾場;噉即係話一位玩家嘅表現,可以簡化噉想像成一個常態分佈[歐 4];想像下圖入面嘅 X 軸係玩家嘅表現,而 Y 軸係每個表現值出現嘅機率,兩條線分別代表阿 A 同阿 B 兩位玩家[註 3],講平均表現()嘅話,

  • 阿 A 嘅平均表現係 76 分咁高,用日常用語講即係話佢表現通常會係 76 分或者接近 76 分,
  • 阿 B 嘅平均表現係 52 分咁高,用日常用語講即係話佢表現通常會係 52 分或者接近 52 分,

兩者都有 12 分咁多嘅標準差)。如果阿 A 同阿 B 對局,阿 A 多數時候會贏(表現高過阿 B),但間中有可能會撞啱有日阿 A 狀態唔好同時阿 B 狀態大好,令到阿 B 嗰日嘅表現好啲。噉亦表示,要準確噉評估一位玩家嘅技術,一定要首先畀佢經過有返咁上下數量嘅對局[1]:1.4

一場對局

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分析者可以靠住玩家嘅預估技術水平嚟預測一場對局嘅賽果。依家想像有兩位玩家,阿 同阿 兩個要鬥捉圍棋,設[7]:2.1

  • 做阿 嘅表現,或者預估技術值;
  • 做阿 嘅表現,或者預估技術值;
  • 做兩者對局嘅可能結果,當中 1 表示「阿 贏」,而 0 表示「阿 贏」;

贏嘅機率()理應會受制於 [註 2]。如果畫做圖,當中 Y 軸做 而 X 軸做 ,會得出好似以下噉嘅線

(兩位玩家表現相約),(阿 有 50% 機會贏)
係大嘅正數(阿 表現高一截),(阿 大機會贏)
係大嘅負數(阿 表現高一截),(阿 大機會贏)

呢啲嘢之間嘅關係,可以用以下噉嘅式嚟表達[6]:(1)

係指預想阿 會攞到幾多分,反映緊 [8]。想像:

如果
如果
如果

... 如此類推。

噏哋伊勞

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經歷一場對局之後,個系統就要按照對局結果,郁手噏哋ap1 dei1兩位玩家嘅伊勞值。設 做阿 喺時間點 嘅伊勞值,並且設 入面嘅 ,每場對局之後,兩位玩家嘅新伊勞值可以用以下呢條式嚟計[6]:(2)

,當中
  • 係阿 跟住落嚟嘅伊勞值;
  • 係基於兩位玩家先前嘅伊勞值做預測,得出嘅預估賽果;
  • 係實際上嘅賽果,如果阿 贏,,而如果阿 輸,
  • 係一個參數,數值可以調節,反映伊勞值噏哋得有幾快, 數值愈大,伊勞值噏哋得愈快。

而家有一大班玩家,將佢哋嘅伊勞值冚唪唥都設做 1,000,跟住落嚟會發生噉嘅事:

  • 如果阿 嘅伊勞明顯低過佢應有嘅值,噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術渣過佢嘅對手, 接近 0.5, 傾向係 1,佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅正值;
  • 如果阿 嘅伊勞明顯高過佢應有嘅值,噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術勁過佢嘅對手, 接近 0.5, 傾向係 0,佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅負值;
  • 如果阿 技術好勁而且到咗佢應有嘅伊勞,噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都低過佢嘅對手, 接近 1, 傾向係 1,佢打低對手嗰陣 傾向細,佢伊勞就唔會點郁;
  • 如果阿 技術好渣而且到咗佢應有嘅伊勞,噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都高過佢嘅對手, 接近 0, 傾向係 0,佢輸畀對手嗰陣 傾向細,佢伊勞就唔會點郁;

—噉即係話,將啲玩家嘅伊勞值冚唪唥設做 1,000 再畀佢哋玩好多場對局,各人就會慢慢噉趨向到達佢哋應有嘅伊勞值。最終嘅伊勞值會反映佢哋嘅實際技術。

各界應用

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國際象棋

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内文:國際象棋

喺廿一世紀初,伊勞係國際象棋上最常用嘅棋手評分方法。國際象棋聯會[歐 5]等嘅國際象棋組織以及網上國際象棋遊戲,都係靠伊勞系統嚟評定啲棋手實力有幾高嘅,而事實上伊勞制度嘅創始人阿柏特·伊勞[歐 1]都係一個熱愛國際象棋嘅人,仲去到國際象棋大師嘅水平[9]

一般嚟講,一個國際象棋組織會有套方案,講明「伊勞係咁多咁多分至咁多咁多分嘅棋手,可以配以呢個呢個稱號」噉,但唔同嘅國際象棋組織喺呢方面嘅做法都有啲唔同[10]。以國際象棋聯會為例,根據 2023 年嘅國際象棋聯會準則,一位棋手嘅預設伊勞值係 1,000,佢喺國際象棋比賽同第啲棋手較量,官方紀錄就會按佢啲對手嘅伊勞以及對局嘅結果,調整呢位棋手嘅伊勞。如果一位棋手要得到國際象棋特級大師[歐 6]嘅稱號,就需要達致起碼 2,500 咁高嘅伊勞值,而且佢打低嘅對手亦要有返咁上下伊勞先得[11]

電子競技

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内文:電子競技

進階變種

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睇埋:堅係技術

批評

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簡史

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睇埋

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註釋

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  1. 呢句粵文譯版嚟自英文譯句-"The measurement of the rating of an individual might well be compared with the measurement of the position of a cork bobbing up and down on the surface of agitated water with a yardstick tied to a rope and which is swaying in the wind."
  2. 2.0 2.1 假設隻遊戲係技術遊戲
  3. 姑且唔好諗計量單位係乜住。

歐詞

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  1. 1.0 1.1 Arpad Elo
  2. zero-sum
  3. Elo
  4. normal distribution
  5. Fédération Internationale des Échecs,FIDE
  6. Grandmaster,GM

文獻

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參考資料

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  1. 1.0 1.1 Elo, A. E. (1978). The Rating of Chessplayers, Past and Present (PDF) 2nd Ed. New York: Arco Pub.
  2. Batchelder, W. H., & Bershad, N. J. (1979). The statistical analysis of a Thurstonian model for rating chess players. Journal of Mathematical Psychology, 19(1), 39-60.
  3. Elo Rating System. Chess Terms.
  4. Von Neumann, John; Oskar Morgenstern (2007). Theory of games and economic behavior (60th anniversary ed.). Princeton: Princeton University Press.
  5. Berg, A. (2020). Statistical analysis of the elo rating system in chess (PDF). Chance, 33(3), 31-38.
  6. 6.0 6.1 6.2 Lehmann, R., & Wohlrabe, K. (2017). Who is the 'Journal Grand Master'? A new ranking based on the Elo rating system. Journal of Informetrics, 11(3), 800-809.
  7. Pelánek, R. (2016). Applications of the Elo rating system in adaptive educational systems. Computers & Education, 98, 169-179.
  8. Glickman, M. E., & Jones, A. C. (1999). Rating the chess rating system. Chance, 12(2), 21-28.
  9. The Rating of Chess Players, Past and Present (First Edition 1978, Second Edition 1986), Arco.
  10. Elo Rating System – Everything You Need to Know. Chess Klub.
  11. FIDE HANDBOOK. Section B. 01.