圓羣

單位圓

喺數學入面，圓羣（符號係$\mathbb {T}$、$\mathbb {T} ^{1}$或$S^{1}$），係所有模係1嘅複數組成嘅乘法羣，亦即係Argand平面上面嘅單位圓，又或者可以講係單位複數：

$\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$

圓羣係複數乘法羣$\mathbb {C} ^{\times }$嘅子羣，由於$\mathbb {C} ^{\times }$係交換嘅，所以$\mathbb {T}$都係交換嘅。圓羣亦都可以睇做$U(1)$，一階嘅么正矩陣羣，呢個羣對複數平面進行旋轉作用，所以圓羣可以用旋轉角度$\theta$嚟參數化：

$\theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

呢個亦都係圓羣作爲李羣嘅指數映射。

圓羣喺Pontryagin對偶理論同埋李羣理論有好重要嘅作用。

圓羣嘅符號係$\mathbb {T}$係因爲用正常嘅拓撲結構嘅話，圓羣其實就係1-環面（英文：1-torus），推而廣之，$\mathbb {T} ^{n}$（$\mathbb {T}$同自己直積n次）就係n-環面（英文：n-torus）。

簡介

鐘上面嘅加法

一個生活入面同圓羣有關嘅例子就係鐘，因爲淨係睇鐘面嘅話，係睇唔出支針轉咗幾多個圈嘅。例如，9個鐘加4個鐘，就咁計應該係13個鐘，但係淨係睇個鐘嘅話就係1個鐘，因爲鐘面係唔會同你記住轉咗一個圈嘅。亦即係話，9個鐘+4個鐘=1個鐘（mod 12個鐘）。

另一個睇法，就係實數加法，但係淨係睇小數部分，唔睇整數部分，例如我哋想計0.784 + 0.925 + 0.446，答案應該係2.155，但係我哋丟咗個整數部分2，剩返個0.155，亦即係話，係圓羣入面，0.784 + 0.925 + 0.446 = 0.155，呢個例子亦都展示咗$\mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z}$（睇埋下邊同構嘅部分）。

拓撲、分析結構

圓羣係一個一維緊緻交換李羣。

圓羣唔單止係一個代數物體，佢仲有好自然嘅拓撲、微分結構，就係將佢當成複平面上面嘅單位圓嗰陣，佢繼承嘅子集拓撲。由於喺$\mathbb {C} ^{\times }$入面乘法同乘法逆元係光滑映射，圓羣就有個拓撲羣、李羣嘅結構。而且，由於單位圓喺複平面入面係一個閉集，圓羣係$\mathbb {C} ^{\times }$嘅一個閉子羣。

李羣嘅角度嚟睇，圓羣係一個單參數羣，而事實上，同構嚟講，圓羣係唯一一個一維連通緊緻李羣，而且，任何一個n維連通緊緻交換李羣都係同$\mathbb {T} ^{n}$同構。

同構

可以用好多方法去解讀圓羣，亦即係話，圓羣有好多唔同嘅推廣方向，呢到列幾個出嚟：

U(1)

數學入面，$U(n)$係指n階么正矩陣羣，而$U(1)$就係一階么正矩陣羣，根據定義就係$1\times 1$嘅矩陣，而且入面個數要係單位複數，正正就同圓羣嘅條件一樣，所以圓羣可以被視爲么正矩陣羣系列入面嘅第一個：$\mathbb {T} \cong U(1)$

R/Z

將實數線$\mathbb {R}$睇做圓$\mathbb {T}$嘅覆蓋空間，$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$

指數函數可以將實數羣$\mathbb {R}$打去圓羣上面：

$\theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

呢個係一個$\mathbb {R} \to \mathbb {T}$嘅羣同態，$\theta$對應住單位圓上面，由x軸開始逆時針數，用弧度做單位嘅角度。呢個係一個羣同態係因爲單位複數嘅乘法同角度嘅加法係對應嘅：

$e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$

呢個指數函數係一個滿射，但係唔係單射，佢嘅核係$2\pi$嘅整數倍，可以寫做$2\pi \mathbb {Z}$，所以根據第一同構定理我哋知道$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$，做翻個縮放我哋就可以話$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$喇。

呢一個商亦都可以用短正合序列表達出嚟：$0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {T} \to 0$。

SO(2)

如果用$2\times 2$實矩陣嚟寫啲複數嘅話，咁單位複數就對應住$2\times 2$行列式係1嘅正交矩陣喇，亦即係話，

$e^{i\theta }\leftrightarrow f(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

呢個函數$f$其實係由圓羣$\mathbb {T}$去二階特別正交羣$SO(2)$嘅羣同構，因爲

$f(e^{i\theta _{1}})f(e^{i\theta _{2}})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\\\sin \theta _{1}&\cos \theta _{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta _{2}&-\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{2}&\cos \theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f(e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})})$

中間嗰步用咗三角函數恆等式，呢個同構顯示咗單位複數對複平面有個自然嘅旋轉作用，而且每一個（圍住原點嘅）旋轉都可以調反轉用複數嚟寫。

性質

圓羣係Prüfer羣嘅完備化

每一個維度大過0嘅緊緻李羣都有一個同圓羣同構嘅子羣，換言之，用對稱嘅角度嚟睇嘅話，任何緊緻李羣嘅連續作用入面都可以搵到一個圓羣作用，係物理學入面，旋轉不變性同自發性打爛對稱都同呢個有關係。

圓羣由好多嘅子羣，但係真封閉子羣就得嗰啲單位根，對任何正整數$n>0$，所有n次單位根組成咗個n階循環羣。掉返轉嚟睇，圓羣可以睇做循環羣嘅極限。

實數羣有一個性質，就係佢係b-進分數（b>1）嘅拓撲閉包；圓羣有個類似嘅性質，佢係Prüfer羣嘅拓撲閉包。

$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$（2階循環羣）對圓羣有個反轉作用，所以可以考慮半直積$\mathbb {T} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$，呢個羣其實同$O(2,\mathbb {R} )$同構，幾何上嘅諗法係，圓嘅所有對稱都可以寫做「反轉或者唔反轉」接住一個旋轉。因為呢個係同$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$嘅半直積，所以亦都可以話$O(2,\mathbb {R} )$係$\mathbb {T}$嘅廣義二面體羣。呢個羣亦都係無限二面體羣嘅連續版本，而任何嘅二面體羣都作為子羣裝咗喺無限二面體羣入面，所以亦都裝喺呢個羣入面。

表示理論

圓羣嘅表示（representation）好容易描述，因爲根據Schur引理所有阿標羣嘅不可約複表示都係一維嘅，而且圓羣係緊緻嘅，所以佢嘅所有表示一定打翻嗮入去單位圓入面，亦即係話，圓嘅唔約得表示其實就係圓打去自己嘅羣同構。

用$\phi _{n}$嚟代表以下嘅表示（n係整數）：

$\phi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }$

咁嘅話$\phi _{-n}$就係$\phi _{n}$嘅共軛表示：

$\phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}$

留意返如果n係0嘅話，$\phi _{0}$就係當然表示，其他n代表嘅都係一維表示，即係特徵。$\mathbb {T}$嘅特徵羣係由$\phi _{1}$生成嘅無限循環羣：

$\mathrm {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z}$

圓羣嘅不可約實表示就係當然表示同埋

$\rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},n\in \mathbb {Z} ^{+}$

佢哋係喺$SO(2)$入面。呢到我哋淨係攞n係正整數，因爲$\rho _{-n}$同$\rho _{n}$係等價嘅。

純代數結構

呢一段淨係考慮代數結構，唔考慮拓撲。

圓羣$\mathbb {T}$係一個可除羣，佢嘅扭子羣係所有嘅單位根，係同$\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$同構嘅。根據可除羣嘅結構定理同埋選擇公理，我哋知道$\mathbb {T}$係同構於$\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$同一堆唔知幾多個嘅$\mathbb {Q}$嘅直和。

爲咗令到兩邊嘅基數啱數，$\mathbb {Q}$嘅數量一定要係${\mathfrak {c}}$（連續統嘅基數）咁多個，但係${\mathfrak {c}}$咁多個$\mathbb {Q}$嘅直和其實係同$\mathbb {R}$同構嘅，因爲$\mathbb {R}$可以睇做維度係${\mathfrak {c}}$嘅$\mathbb {Q}$-向量空間，所以，

$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$

同樣道理，亦都有$\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$，因爲$\mathbb {C} ^{\times }$都係一個可除阿標羣，個扭子羣同$\mathbb {T}$嘅扭子羣一樣。亦即係話雖然$\mathbb {T}$係$\mathbb {C} ^{\times }$嘅一個真子羣，但係佢哋作為一個羣係同構嘅。

其他性質

• 如果$G$係一個局部緊緻郝斯多夫羣，而且佢每個真閉子羣都只有有限個閉子羣，咁$G$就係拓樸同構於圓羣。

睇埋

• 圓上面嘅有理數點
• 環面
• 單參數羣
• 么正羣
• 正交羣
• Prüfer羣
• 螺線管 (數學)

參考書

• Hua Luogeng (1981) Starting with the unit circle, Springer Verlag, ISBN 0-387-90589-8
• Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348 ISBN 812240120 [1]

連結

• Homeomorphism and the Group Structure on a Circle
• GroupProps
• nLab