圓羣

出自維基百科,自由嘅百科全書
跳去導覽 跳去搵嘢

數學入面,圓羣(符號係),係所有絕對值係1嘅複數組成嘅乘法羣,亦即係Argand平面上面嘅單位圓,又或者可以講係單位複數:

圓羣係複數乘法羣嘅子羣,由於交換嘅,所以都係交換嘅。圓羣亦都可以睇做,一階嘅么正矩陣羣,呢個羣對複數平面進行旋轉作用,所以圓羣可以用旋轉角度參數化

呢個亦都係圓羣作爲李羣指數映射

圓羣喺Pontryagin對偶理論同埋李羣理論有好重要嘅作用。

圓羣嘅符號係係因爲用正常嘅拓撲結構嘅話,圓羣其實就係1-環面英文1-torus),推而廣之,同自己直積n次)就係n-環面(英文n-torus)。

簡介[編輯]

一個生活入面同圓羣有關嘅例子就係,因爲淨係睇鐘面嘅話,係睇唔出支針轉咗幾多個圈嘅。例如,4個鐘加9個鐘,就咁計應該係13個鐘,但係淨係睇個鐘嘅話就係1個鐘,因爲鐘面係唔會同你記住轉咗一個圈嘅。亦即係話,4個鐘+9個鐘=1個鐘(mod 12個鐘)。

另一個睇法,就係整數加法,但係淨係睇小數部分,唔睇整數部分,例如我哋想計0.784 + 0.925 + 0.446,答案應該係2.155,但係我哋丟咗個整數部分2,剩返個0.155,亦即係話,係圓羣入面,0.784 + 0.925 + 0.446=0.155,呢個例子亦都展示咗(睇埋下邊同構嘅部分)。

拓撲、分析結構[編輯]

圓羣唔單止係一個代數物體,佢仲有好自然拓撲微分結構,就係將佢當成複平面上面嘅單位圓嗰陣,佢繼承嘅子集拓撲。由於喺入面乘法同乘法逆元係光滑映射,圓羣就有個拓撲羣李羣嘅結構。而且,由於單位圓喺複平面入面係一個閉集,圓羣係嘅一個閉子羣

李羣嘅角度嚟睇,圓羣係一個單參數羣,而事實上,同構嚟講,圓羣係唯一一個一維連通緊緻李羣,而且,任何一個n維連通緊緻交換李羣都係同同構。

同構[編輯]

可以用好多方法去解讀圓羣,亦即係話,圓羣有好多唔同嘅推廣方向,呢到列幾個出嚟:

U(1)[編輯]

數學入面,係指n階么正矩陣羣,而就係一階么正矩陣羣,根據定義就係嘅矩陣,而且入面個數要係單位複數,正正就同圓羣嘅條件一樣,所以圓羣可以被視爲么正矩陣羣系列入面嘅第一個:

[編輯]

指數函數可以將實數羣打去圓羣上面:

呢個係一個羣同態對應住單位圓上面,由x軸開始逆時針數,用弧度做單位嘅角度。呢個係一個羣同態係因爲單位複數嘅乘法同角度嘅加法係對應嘅:

呢個指數函數係一個滿射,但係唔係單射,佢嘅核係嘅整數倍,可以寫做,所以根據第一同構定理我哋知道,做翻個縮放我哋就可以話喇。

SO(2)[編輯]

如果用實矩陣嚟寫啲複數嘅話,咁單位複數就對應住行列式係1嘅正交矩陣喇,亦即係話,

呢個函數其實係由圓羣去二階特別正交羣羣同構,因爲

中間嗰步用咗三角函數恆等式,呢個同構顯示咗單位複數對複平面有個自然嘅旋轉作用,而且每一個(圍住原點嘅)旋轉都可以調反轉用複數嚟寫。

性質[編輯]

每一個維度大過0嘅緊緻李羣都有一個同圓羣同構嘅子羣,換言之,用對稱嘅角度嚟睇嘅話,任何緊緻李羣嘅連續作用入面都可以搵到一個圓羣作用,係物理學入面,旋轉不變性自發性打爛對稱都同呢個有關係。

圓羣由好多嘅子羣,但係封閉子羣就得嗰啲單位根,對任何正整數,所有n次單位根組成咗個n階循環羣

實數羣有一個性質,就係佢係b-進分數(b>1)嘅拓撲閉包;圓羣有個類似嘅性質,佢係Prüfer羣嘅拓撲閉包。

表示理論[編輯]

圓羣嘅表示好容易描述,因爲根據Schur引理所有阿標羣唔約得複表示都係一維嘅,而且圓羣係緊緻嘅,所以佢嘅所有表示一定打翻嗮入去單位圓入面,亦即係話,圓嘅唔約得表示其實就係圓打去自己嘅羣同構

嚟代表以下嘅表示(n係整數):

咁嘅話就係共軛表示

留意返如果n係0嘅話,就係當然表示,其他n代表嘅都係一維表示,即係特徵。特徵羣係由生成嘅無限循環羣

圓羣嘅唔約得實表示就係當然表示同埋

佢哋係喺入面。呢都我哋淨係要n係正整數,因爲係等價嘅。

純代數結構[編輯]

呢一段淨係考慮代數結構,唔考慮拓撲

圓羣係一個可除羣,佢嘅扭子羣係所有嘅單位根,係同同構嘅。根據可除羣嘅結構定理同埋選擇公理,我哋知道係同構於同一堆唔知幾多個嘅直和

爲咗令到兩邊嘅基數啱數,嘅數量一定要係(連續統嘅基數)咁多個,但係咁多個嘅直和其實係同同構嘅,因爲可以睇做維度係-向量空間,所以,

同樣道理,亦都有,因爲都係一個可除阿標羣,個扭子羣同嘅扭子羣一樣。

睇埋[編輯]

[編輯]

參考書[編輯]

[編輯]