複數

數學上複數係一個可以用$a+bi$ 嚟表示嘅數，$a$同$b$都係實數，而$i$係單位虛數，符合$i^{2}=-1$。

$a$ 叫複數嘅實部，而 $b$ 叫做虛部。當 $b=0$ 嗰陣，個數就係$a$，即係實數；$b\neq 0$ 嘅話，就叫複數；如果 $a=0$ 而 $b\neq 0$，就叫純虛數。一個複數 $z$ 嘅實部又可以寫成 $\Re (z)$，虛部又可以寫成 $\Im (z)$。

舉個例，$3+2i$ 係複數（亦係虛數），而實部係 $3$，虛部係 $2$；$2i$ 係純虛數。又可以寫成 $\Re (3+2i)=3$、$\Im (3+2i)=2$。

複數亦都可以用 $re^{i\theta }$ 嘅形式表達，$r$ 係半徑，$\theta$ 係傾角。當傾角等於 $180$° 嘅倍數時，係一個實數；而其他角度時（$r\neq 0$）就係虛數。

複數可以加、減、乘、除，同實數一樣，用數學嘅語言嚟講複數集形成一個場，不過就有深刻啲嘅特性。例如，唔係每個實系數多項式都有實數根（簡稱實根），而複數根（簡稱複根）就個個都有（代數基本定理），呢個性質叫做代數封閉。亦即係話，複數係實數嘅閉包。

歷史上，數學家係因為解三次方程式而發現複數嘅，佢哋用 Cardano 公式嚟解方程，發現套用公式嗰陣個開方入邊成日都有負數，甚至係連條三次方程有三個實解嗰陣啲中途步驟都會出現開方負數。

表示形式

• 直角座標形式：$a+bi$

$a$同$b$都係實數，而$i$係單位虛數，符合$i^{2}=-1$。

$a$ 叫複數嘅實部，而 $b$ 叫做虛部。

• 極座標形式：$r\angle \theta$

$r\geq 0$ 係半徑，$\theta$ 係傾角。

性質

• 0 屬於實數。
• 虛數冇咗三一律，即係冇得好似實數噉比較大細，準確嚟講，喺複數呢個集上邊唔存在一個同複數加法、乘法相容嘅全序關係。
• 共軛複數係指兩個複數嘅實部一樣，而虛部互為相反數，即係 $a+bi$ 同 $a-bi$；或者半徑一樣，傾角相反，即係 $re^{i\theta }$ 同 $re^{-i\theta }$。當一個複數 $z=a+bi$ 嘅時候，佢嘅共軛複數可以喺上邊加一條線，以 ${\bar {z}}=a-bi$ 表示。

運算法則

兩個複數進行運算時嘅法則如下：

• 加法：$(a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i$
• 減法：$(a+bi)-(x+yi)=(a-x)+(b-y)i$
• 乘法：$(a+bi)\times (x+yi)=ax+ayi+bxi+byi^{2}=(ax-by)+(ay+bx)i$
• 除法：${{a+bi} \over {x+yi}}={{a+bi} \over {x+yi}}\times {{x-yi} \over {x-yi}}$（有理化分母）

$={{(ax+by)+(bx-ay)i} \over {x^{2}-(yi)^{2}}}={{(ax+by)+(bx-ay)i} \over {x^{2}+y^{2}}}={{{ax+by} \over {x^{2}+y^{2}}}+{{bx-ay} \over {x^{2}+y^{2}}}i}$

• 倒數：${\frac {1}{a+bi}}={\frac {1}{a+bi}}\cdot {\frac {a-bi}{a-bi}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

極座標嘅乘除比較簡單：

• 乘法：$r_{1}e^{i\theta _{1}}\times r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$
• 除法：${r_{1}e^{i\theta _{1}} \over r_{2}e^{i\theta _{2}}}={r_{1} \over r_{2}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$

睇埋

• 三一律
• 虛數
• e (數學常數)