阿貝爾羣

阿貝爾羣（粵拼：aa3 bui3 ji5 kwan4；英文：abelian group，又叫交換羣或可交換羣，英文：commutative group）係羣嘅一種，喺入面任何兩個元素做羣運算嘅時候，次序都係唔緊要嘅，亦即係話，個羣運算係交換嘅。整數配加法同實數配加法都係阿貝爾羣，而阿貝爾羣呢個概念亦都可以話係推廣咗呢兩個羣嘅概念。阿貝爾羣個名出自19世紀嘅挪威數學家——尼斯·亨利·阿貝爾。

交換羣係代數入面好重要嘅概念，一啲更複雜嘅結構，例如環、體、向量空間、代數等等都係建基於交換羣嘅概念。比起非交換羣，交換羣嘅性質簡單好多，舉例嚟講，有限交換羣同有限生成交換羣嘅分類都簡單過非交換嘅版本。

定義

假設G係個羣，$(G,\cdot )$，而「•」係羣運算。如果$\forall x\cdot y\in G,x\cdot y=y\cdot x$，噉G係個阿貝爾羣。任何兩粒係G入面嘅元素，佢哋喺運算之前交換位置都唔會影響出嚟嘅結果。

例

複數$(\mathbb {C} ,+)$

用$\mathbb {C}$表示裝住所有複數嘅集。$+$係普通加法。$(\mathbb {C} ,+)$呢個羣係一個阿貝爾羣。因為喺$\mathbb {C}$入面，加法次序嘅改變係唔會影響佢嘅結果。

非零分數$(\mathbb {Q} \backslash \{0\},\times )$

假設$\mathbb {Q} \backslash \{0\}$係指所有數值非零嘅分數，噉${\frac {a}{b}}$而$a\neq 0$。$\times$係普通乘法。$(\mathbb {Q} \backslash \{0\},\times )$呢個羣都係個阿貝爾羣。

正數$(\mathbb {R} ^{+},\times )$

假設$\mathbb {R} ^{+}$係所有嘅正數，唔包括0，而$\times$係普通乘法。$(\mathbb {R} ^{+},\times )$都係個阿貝爾羣。當$\mathbb {R} ^{+}$嘅羣運算由$\times$變$+$嘅時候，佢就唔係個阿貝爾羣，因為佢冇「另一半」同埋「0」。