等比數列

等比數列，有時叫幾何數列，係一種常見數列，每一項同前項嘅比係同一樣嘅，叫做公比。例如 1,2,4,8,16,32,...，公比係2。

定義

• 數列嘅每一項都唔可以係0。
• 除咗首項，數列嘅每一項同前項嘅比都係同一個數，叫做公比，通常用 $r$ 表示。
• 如果數列係 $a_{0}\ ,\ a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ ...\ ,\ a_{n}$，

公比 $r={a_{1} \over a_{0}}={a_{2} \over a_{1}}={a_{3} \over a_{2}}=...={a_{n} \over a_{n-1}}$

• 如果 $a_{0}$ 係首項，就有：

$a_{1}=a_{0}\ r$

$a_{2}=a_{1}\ r=a_{0}\ r^{2}$

$a_{3}=a_{2}\ r=a_{1}\ r^{2}=a_{0}\ r^{3}$

$...$

$a_{n}=a_{0}\ r^{n}$

求和公式

假設 $s_{n}$ 係頭 $n$ 項嘅和：

$s_{n}={\sum _{k=0}^{n-1}}\ a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}$，

根據定義可寫成

$s_{n}=a_{0}+a_{0}\ r+a_{0}\ r^{2}+a_{0}\ r^{3}+...+a_{0}\ r^{n-1}$

成條式除以 $a_{0}$ (按照定義 $a_{0}\neq 0$ 所以可當做除數 )

${s_{n} \over a_{0}}=1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1}$

將等號右邊因式分解

${s_{n} \over a_{0}}={1-r^{n} \over 1-r}$

所以頭 $n$ 項嘅和係

$s_{n}=a_{0}{1-r^{n} \over 1-r}$

如果有無限項

${\lim _{n\to \infty }}s_{n}={\lim _{n\to \infty }}\left(a_{0}{1-r^{n} \over 1-r}\right)$

當 $|r|<1$ 時收斂

${\lim _{n\to \infty }}s_{n}={a_{0} \over 1-r}$

睇埋

• 等差數列