過剩數

喺數論裏面，若果一個正整數除本身以外所有正因數嘅和比呢個數自身大，呢個數就係過剩數（又稱作豐數或盈數）。

定義

以Cuisenaire rods展示12係一個過剩數：真因數之和(16)大過自己(12)

過剩數係指令函數$s(n)>n$嘅正整數$n$ ，其中$s(n)$指$n$嘅真因數和； $s(n)-n$稱為$n$嘅盈度或豐度。

例如 12除咗本身之外嘅所有正因數係1、2、3、4、6，而$1+2+3+4+6=16>12$，所以12係過剩數，而且12嘅豐度係$16-12=4$。

另一個講法，過剩數係指令函數$\sigma _{1}(n)>2n$嘅正整數$n$ ，其中$\sigma _{1}(n)$指嘅係$n$嘅所有正因數（包括$n$ ）嘅和； $\sigma _{1}(n)-2n$稱為$n$嘅盈度或豐度。

例如 12嘅所有正因數係1、2、3、4、6、12，而$1+2+3+4+6+12=28>2\times 12$，所以12係過剩數，而且12嘅豐度係$28-2\times 12=4$。

性質

最細嘅一啲過剩數系：12、18、20、24、30、36、40、42、48、54、56、60、66、70、72、78、80、84、88、90、96、100、102、…（OEIS數列A005101）

以上列出嘅過剩數都係偶數。最細嘅奇過剩數係945。1998年Marc Deléglise 證明過剩數喺自然數中嘅自然密度介乎0.2474同埋0.2480之間。

奇過剩數同埋偶過剩數都有無限咁多個，因為每個完全數同埋過剩數嘅倍數（唔包括佢哋自身）都係過剩數。甚至，每個大過20161嘅數都可以寫成兩個過剩數嘅和。好多過剩數一部分真因數嘅和等於過剩數自身，噉嘅過剩數叫做半完全數，一個唔係半完美數嘅過剩數叫做奇異數；盈度係1嘅過剩數叫做准完全數。

同過剩數相關嘅概念係完全數（σ(n) = 2n）同埋虧數（σ(n) < 2n）。最早將自然數分為過剩數、完美數同埋虧數嘅係Nicomachus所著嘅Introductio Arithmetica (公元前100年)。

睇埋

• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 親和數
• 虧數
• 梅森質數
• 半完全數
• 佩服數