提示:呢篇文講嘅唔係
ㅿ或
Δ。
三角形係由三條線段順次首尾相連,組成嘅一個閉合嘅平面圖形,係最基本嘅多邊形。
一般用大寫英文字母
、
同
為頂點標號。用小寫英語字母
、
同
表示邊;
、
同
或者頂點標號表示角。
- 中線:三角形一邊中點同呢邊所對定點嘅連線段。
- 高線:由三角形一個頂點向佢嘅對邊所作嘅垂線段。
- 角平分線:平分三角形一角、一個端點喺呢一角嘅對邊上嘅線段。
- 中垂線:通過三角形一邊中點同該邊所垂直嘅線段,又叫做垂直平分線。
- 三角不等式:
- 三角形兩邊嘅和大過第三邊,兩邊之差嘅絕對值小過第三邊。如果兩者相等,就係退化三角形。
- 三角形任意一個外角大過唔相鄰嘅一個內角。
- 畢氏定理(又叫做畢達哥拉斯定理)同埋勾股逆定理:
- 當直角三角形ABC嘅三頂點A、B、C所對嘅三邊分別為a、b、c,
(當角C=90°)。
- 正弦定理(R係三角形外接圓半徑):
![{\displaystyle {\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {c}{\sin(\gamma )}}=2R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b188c20a9639fcc0aea13a7cc5e915a1a65dd7)
- 餘弦定理:
![{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0928ceca6f91e955104ba874f470e9a2aa24e06a)
![{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798aa0a5b5e18a7cb2957483982718ea37eede04)
![{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d762649ea33a50da0047707b5dba48891862be)
三角形兩隻內角嘅和,等於剩落嚟嘅一隻外角。
喺歐幾里德平面內,三角形嘅內角和等於180°。
鈍角三角形其中一隻角係鈍角(>90°)嘅三角形,其餘兩角都<90°。
銳角三角形嘅所有內角都係銳角(<90°)。
有一個角係直角(=90°)嘅三角形為直角三角形。
成直角嘅兩條邊稱為直角邊(cathetus),直角所對嘅邊係斜邊(hypotenuse);或最長嘅邊稱為弦,底部嘅一邊稱作勾(又作句),另一邊稱為股。
可以透過唁同角度嘅直角三角形各邊嘅比求得銳角三角函數。
等邊三角形(又叫正三角形),係三邊相等嘅三角形。三個內角相等,都係60°。佢係銳角三角形嘅一種。當佢嘅邊長係a,面積公式就係
。
等邊三角形係正四面體、正八面體同正二十面體呢三個正多面體面嘅形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
等腰三角形係三條邊中有兩條邊相等(或者其中兩隻內角相等)嘅三角形。等腰三角形中嘅兩條相等嘅邊被稱為腰,而另一條邊被稱為底邊,兩條腰交叉組成嘅嗰個點被稱為頂點,佢哋組成嘅角被稱為頂角。
等腰三角形嘅重心、中心同垂心都位於頂點向底邊嘅垂線上。
等腰三角形嘅底嘅垂直平分線,啱啱亦係對應角嘅角平分線。
等邊三角形係等腰三角形嘅一個特殊形式。
退化三角形係指面積係零嘅三角形。滿足下列條件之一嘅三角形就可以稱為退化三角形:三個內角嘅度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊嘅長度為0;一條邊嘅長度等於另外兩條嘅和。有人認為退化三角形唔算係三角形,咁係由於佢介乎於三角不等式之間,喺一啲資料中已否定咗其中一條邊等於其餘兩條邊嘅和嘅情況。
三角形具有穩定性,若果兩個三角形有以下嘅邊角關係,佢嘅形狀、大細就唔會變,兩個三角形就係全等三角形。
- SSS(Side-Side-Side、邊、邊、邊):各三角形嘅三條邊嘅長度都對應地相等。
- SAS(Side-Angle-Side、邊、角、邊):各三角形嘅其中兩條邊嘅長度對應地相等,而且兩條邊夾住嘅角對應地相等。
- ASA(Angle-Side-Angle、角、邊、角):各三角形嘅其中兩個角對應地相等,而且兩條邊夾住嘅邊對應地相等。
- RHS:喺直角三角形中,斜邊同埋另外一條直角邊對應地相等。
- AAS(Angle-Angle-Side、角、角、邊):各三角形嘅其中兩個角對應地相等,而且其中一組對應角嘅對邊亦對應地相等。
AAA(Angle-Angle-Angle、角、角、角)只可以保證兩個三角形相似,唔可以保證全等。SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)亦唔可以保證兩個三角形全等。
當a、b係所知嘅兩邊,C係個夾角,三角形面積係
。
,即底×高÷2。因為兩個相同嘅三角形砌到一個平行四邊形。
希羅公式(又稱海倫公式、海龍公式):
當p等於三角形三邊和嘅一半:
![{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f954cd6a002e2f36009536472c1e11c36f367ee)
則
![{\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8bb00eb7a0951b6f507efbe665581701909ec1)
代入後就係:
![{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0ec44a1f9f182ceb6fa1c4d1c1c07a95818e22)
秦九韶亦求過類似嘅公式,稱為三斜求積法:
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca911b3262cb4d393a30e6dd00e037e7fe4371f7)
基於希羅公式喺三角形擁有非常細嘅角度嗰時並唔係數值穩定,有一個變化嘅計法。當a ≥ b ≥ c,三角形面積為
由
三個頂點構成嘅三角形,面積就係:
若果已知三角形面積為x,三邊邊長分別為a、b、c,s係三角形周長(a+b+c)內心半徑(r):
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}sr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70994f405e2319513d16a5d08daafd9431b22e7f)
外心半徑(R):
![{\displaystyle x={\frac {abc}{4R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92ac4f473448cc575eadeaa29dc1ba03f7bb719)
喺三角形
中,
三個角嘅正切同三邊有以下關係:
![{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {1}{b+c-a}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4824a876751041ceca1a6eda3a9562e48303d6)
![{\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\frac {1}{a+c-b}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57dd7d21ff31b28fc2f636f1012320d6a162cf7)
![{\displaystyle \tan {\frac {C}{2}}={\frac {1}{a+b-c}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9aae6af29a38e6987da7f26090aaaecdc95bfb1)
證明:
![{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0854fd7dbff0d34fbe044cd9416f12c8d2f2f14b)
因為:
![{\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b9b8b69bbbd973f2418f9142bfb6d7ea934e37)
所以:
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {a^{2}+{\left(b-c\right)}^{2}}{4ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338ebabf487f4a94665d1ce3dfb5f80a8b902790)
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c759c41f9f82e0e29d5dcfb506c67052fda841bc)
而:
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {{\left(b-c\right)}^{2}-a^{2}}{4ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e8197589941080659294898c98f5e147828cf1)
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085058e8bdeb2449b4a5fd2ffd726ec13f4107ea)
所以:
即:
同理可得
![{\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\frac {1}{a+c-b}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57dd7d21ff31b28fc2f636f1012320d6a162cf7)
![{\displaystyle \tan {\frac {C}{2}}={\frac {1}{a+b-c}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9aae6af29a38e6987da7f26090aaaecdc95bfb1)
當喺三角形
中,已知三邊
,
,
,若果三個角
,
,
嘅角平分線分別係
,
,
,就用三邊表示三條內角平分線長度公式為
![{\displaystyle t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)bc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83836a6920e90844ff7afb51199dcfd57f4702d)
![{\displaystyle t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+c-b\right)ac}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10945b1b9e01097e78bfdcbf23491a7a4a4effee)
![{\displaystyle t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ba01fe510eb64e6ee881b4742d9b34124298dc)
垂心(藍)、形心(黃)同外心(綠)能連成一線,稱為歐拉線。
![{\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829a75aa3ed0d98ea70d1f1ce3dec8a659ab3c24)
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