循環群

循環群（Cyclic Group）係一類群，係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以$\langle a\rangle :=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}$嚟表示。

最簡單嘅循環群有加法$\mathbb {Z}$，咁$1$同$-1$都係整群出嚟嗰粒嘢，一般會叫呢兩粒嘢做生產元素（Generators）。如果$n$係正數，$$1^{n}=1+1+1+\cdots +1$$加$n$咁多次。如果$n$係負數，$$(-1)+(-1)+\cdots +(-1)$$加$|n|$咁多次。

子群定理

如果$G$係一個群。如果$a\in G$係$G$入面嘅嘢，咁$\langle a\rangle$就係一個子群。

證明：

因為$a\in \langle a\rangle$，$\langle a\rangle$唔係空集。

設$a^{n},a^{m}\in \langle a\rangle$。

$a^{n}(a^{m})^{-1}=a^{n-m}\in \langle a\rangle$，利用一步子群要求，$\langle a\rangle$就$G$嘅子群。

例子一

$U(10)$，係$10$嘅環單元（Units），$\langle 3\rangle :=\{3,9,7,1\}=U(10)$。

因為

${\begin{aligned}3^{1}&=3\\3^{2}&=9\\3^{3}&=27=7\\3^{4}&=81=1\\3^{5}&=243=3\\\vdots &=\vdots \end{aligned}}$

而$3\times 7=21=1$，所以$3^{-1}=7$。

例子二

喺$\mathbb {Z} _{10}$，$\langle 2\rangle =\{0,2,4,6,8\}$。

例子三

喺$\mathbb {Z}$，$\langle -1\rangle =\mathbb {Z}$。$-2(-1),-1(-1),0(-1),1(-1),\cdots$係$\mathbb {Z}$入面每一粒嘢。

非子群例子

例子一

$\mathbb {Z} _{n}=\{0,1,2,3,\cdots ,n\}$，對應$n\geq 1$。係一個循環群。$1$同$-1=n-1$都係整群出嚟嘅嘢。

例子二

$\mathbb {Z} _{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。可以得知，$\mathbb {Z} _{10}=\langle 1\rangle =\langle 3\rangle =\langle 7\rangle =\langle 9\rangle$。

$\langle 1\rangle =\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10=0,\cdots \}$

$\langle 3\rangle =\{3,6,9,12=2,15,=5,18=8,21=1,24=4,27=7,30=0,33=3,\cdots \}$

$\langle 7\rangle =\{7,14=4,21=1,28=8,35=5,42=2,49=9,56=6,63=3,70=0,77=7,\cdots \}$

$\langle 9\rangle =\{9,18=8,27=7,36=6,45=5,54=4,63=3,72=2,81=1,90=0,99=9,\cdots \}$

但係$\langle 2\rangle \neq \mathbb {Z} _{10}$，因為$\langle 2\rangle =\{0,2,4,6,8\}$

循環子群定理

每一個循環群嘅子群都一定係循環群。（Every subgroup of cyclic Group is cyclic.）

證明：

設$G$係循環群，即係$G=\langle a\rangle$。$H$就係$G$嘅子群。

如果$H$係得一粒$\{e\}$，咁$H=\langle e\rangle$。

如果$H$唔係淨係得$e$，即係揀任何一粒$H$入面嘅嘢，$a\neq e$；

$a^{n}\in H$，$n\in \mathbb {Z}$係整數。

設$m\in \mathbb {Z} ^{+}$係最細整數，令到$a^{m}\in H$，同埋$b\in H$係$H$入面是但一粒嘢。

因為$H$係$G$嘅子群，所以$a^{n}=b$，對應有啲$m\in \mathbb {Z}$。

利用餘數定理，就有兩個數$q,r\in \mathbb {Z}$，符合$n=mq+r$。（同時，$0\leq r<m$）

咁$a^{n}=a^{mq+r}$，

$a^{r}=(a^{m})^{-q}a^{n}$。

因為$H$係子群，所以$a^{m}$嘅逆元就係$(a^{m})^{-1}\in H$。

所以$(a^{m})^{-q}\in H$，同埋$a^{r}\in H$。

但係因為$m\in \mathbb {Z} ^{+}$係最細整數，令到$a^{m}\in H$，同時$0\leq r<m$；

所以$r=0$。

正正因為$r=0$，所以$n=mq\implies b=a^{n}=(a^{m})^{q}$。

$\implies b\in \langle a^{m}\rangle$

相等元素要求

如果$G$係一個群，$a\in G$。

如果$G$嘅基數係有限，$n$，咁$\langle a\rangle =\{e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}\}$同埋$a^{i}=a^{j}\iff n|i-j$。

如果$G$嘅基數係無限，咁$a^{i}=a^{j}\iff i=j$。

證明：

如果$G$係無基數，咁無一個非零嘅$n$符合$a^{n}=e$。

因為$a^{i}=a^{j}$，所以$a^{i-j}=e$。因此$i=j$。

如果$G$係有基數，$a=|n|$。

揀任何一粒$a^{m}\in \langle a\rangle$。

利用餘數定理，有兩粒$q,r\in \mathbb {Z}$，$m=nq+r$。（同時$0\leq r<n$）

咁$a^{m}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}a^{r}=ea^{r}=a^{r}$，

所以$a^{k}\in \{e,a,a^{2},\cdots ,a^{n-1}\}$。

如果$a^{i}=a^{j}$，$a^{i-j}=e$。

利用餘數定理，有兩粒$q,r\in \mathbb {Z}$，$a^{i-j}=a^{qn+r}$同埋$0\leq r<n$。

咁$a^{i-j}=e=a^{qn+r}=e^{q}a^{r}=a^{r}$。

因為$n$係最細整數令到$a^{n}=e$，所以$r=0$，$n|i-j$。

如果$n|i-j$，咁$i-j=nq$。

$a^{i-j}=a^{nq}=e^{q}=e$，所以$a^{i}=a^{j}$。

推論一

任何$a\in G$，$|a|=|\langle a\rangle |$。

推論二

$G$係一個群，$a\in G$同埋佢嘅基數係$k$。

如果$a^{k}=e$，咁$|a|=n|k$。

最大公因數定理

設$G$係一個群，$a\in G$同埋佢嘅基數係$n$，$k$係正整數。

咁$\langle a^{k}\rangle =\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle$，$|a^{k}|={\frac {n}{\gcd(n,k)}}$。

證明：

設$d=\gcd(n,k)$。同埋，$k=dr$。

因為$a^{k}=(a^{d})^{r}$，咁$\langle a^{k}\rangle \subseteq \langle a^{d}\rangle$。

利用比舒公式，有兩個數$s,t\in \mathbb {Z}$，$d=ns+kt$。

所以$a^{d}=a^{ns+kt}=a^{ns}a^{kr}=(a^{n})^{s}(a^{k})^{r}=e(a^{k})^{t}=(a^{k})^{t}\in \langle a^{k}\rangle$。

$\implies \langle a^{d}\rangle \subseteq \langle a^{k}\rangle$

（想要證明$|a^{d}|={\frac {n}{d}}$）

$(a^{d})^{\frac {n}{d}}=a^{n}=e$，所以$|a^{d}|\leq {\frac {n}{d}}$。

如果有一個整數$i$係細過${\frac {n}{d}}$，咁根據$|a|$嘅定義$(a^{d})^{i}\neq e$。

利用$d=\gcd(n,k)$，$|a^{k}|=|\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle |=|a^{\gcd(n,k)}|={\frac {n}{\gcd(n,k)}}$。

應用

整細個生產表示。例如$|a|=30$，咁$\langle a^{30}\rangle =\langle a^{2}\rangle$，$\langle a^{23}\rangle =\langle a\rangle$。

推論一

喺有限嘅循環群入面，元素嘅基數除得盡群嘅基數。

推論二

設$|a|=n$。

咁$\langle a^{i}\rangle =\langle a^{j}\rangle \iff \gcd(n,i)=\gcd(n,j)$，同埋$|a^{i}|=|a^{j}|\iff \gcd(n,i)=\gcd(n,j)$。

推論三

設$|a|=n$。

咁$\langle a\rangle =\langle a^{j}\rangle \iff \gcd(n,j)=1$同$|a|=|\langle a^{j}\rangle |\iff \gcd(n,j)=1$。

推論四

係$\mathbb {Z} _{n}$入面嘅整數$k$，佢係整$\mathbb {Z} _{n}$出嚟$\iff \gcd(n,k)=1$

睇埋

• 群
• 子群
• 有限群
• 循環群基本定理
• 執位