極限 (數列)

呢篇文係講數列嘅極限，唔係講函數嘅極限。

數列嘅極限（Limit of Sequence）係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

定義

數列嘅極限有幾個唔同嘅定義，下面呢個係最基本，最通用嘅其中一個。

假設有一串實數（$\mathbb {R}$）數列$X=(x_{n})$。如果以下條件成立，

「揀任何一個$\varepsilon >0$，佢都會有一個自然數$N\in \mathbb {N}$，使到任何一個$x_{n}$，佢係$n\geq N$符合$|x_{n}-x|<\varepsilon$」

數學家會講$(x_{n})$趨向（converge）一點$x\in \mathbb {R}$，同埋$x\in \mathbb {R}$係叫做$(x_{n})$嘅極限（Limit）。

如果一串數列係有極限嘅話，我哋會話佢「趨向一點」（convergent）。有人會用$(x_{n})\rightarrow x$嚟表示$(x_{n})$趨向呢點$x$。

如果一串數列係無極限嘅話，我哋會話佢「唔趨向一點」（divergent）。

概念

假設有一條數列$X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )$同時佢趨向呢點$x\in \mathbb {R}$。你畀出一個任意嘅$\varepsilon >0$。

將每一個項都減佢趨向個點，$(x_{1}-x,x_{2}-x,\cdots ,x_{n}-x,x_{n+1}-x,\cdots )$。

當條數列嘅第一項符合$|x_{n}-x|<\varepsilon$，叫呢項做$n$。咁之後呢個項之後嘅項都會符合$|x_{i}-x|<\varepsilon$，$n<i,\,i\in \mathbb {N}$。

例子

將$X=(2,2,2,2,2,2,\cdots )$，明顯地$X$係趨向$2$。畀一個任意嘅$\varepsilon >0$。

得知$|2-2|=0<\varepsilon$。因此，$X$由第一項就符合定義性質。

性質

唯一性

一串實數（$\mathbb {R}$）數列$X=(x_{n})$只可以有一點極限。

證明：

假設$x,x'$都係$(x_{n})$嘅極限。

根據定義，揀任何一個$\varepsilon >0$，都會有

$\exists \,N\in \mathbb {N}$，使到任何一個$x_{n}$佢係$n\geq N$，符合$|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$；

$\exists \,N'\in \mathbb {N}$，使到任何一個$x_{n}$佢係$n\geq N'$，符合$|x_{n}-x'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

揀一個大啲嘅$N'':=sup\{N,N'\}$，使到$n\geq N''$，

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|x-x'|&=|x-x'+x_{n}-x_{n}|\\&<|x_{n}-x'|+|x_{n}-x|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

因為$\varepsilon >0$係自己揀嘅，任何一個都得，所以推論到$x-x'=0\implies x=x'$。

綁定定義

假設有一串實數（$\mathbb {R}$）數列$X=(x_{n})$。如果有一個實數$M>0$，令到任何一個$n\in \mathbb {N}$符合$|x_{n}|\leq M$。咁樣我哋會話$(x_{n})$係被「有界」（Bounded）。

有界性質

任何一申會趨向一點嘅數列都係被有界。

證明：

假設$(x_{n})$係趨向一點$x\in \mathbb {R}$，即係$\lim(x_{n})=x$。

將$\varepsilon :=1$，根據定義，一定會一個$N\in \mathbb {N}$，令到所有$x_{n}\geq N$符合$|x_{n}-x|<1$。

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|x_{n}|-|x|&\leq |x_{n}-x|\\|x_{n}|-|x|&<1\\|x_{n}|&<1+|x|\end{aligned}}$

將$M:=sup\{|x_{1}|,|x_{2}|,\cdots ,|x_{N-1}|,1+|x|\}$。咁樣$M$就會係呢串數列入面最大嗰個數字，因為第$N$嘅項會細過$1+|x|$，之後喺第$N-1$項同之前嘅加埋$1+|x|$入面揀個最大嘅，叫佢做$M$。

咁樣呢串數就一定會細過$M$，即係$|x_{n}|\leq M$。

排序性質

如果$(x_{n})$同$(y_{n})$係各自趨向一點，以下三個特性係啱嘅：

• $x_{n}\geq 0,\,\forall n\in \mathbb {N}$，咁樣$x=\lim x_{n}\geq 0$。
• $x_{n}\leq y_{n},\,\forall n\in \mathbb {N}$，咁樣$\lim x_{n}\leq \lim y_{n}$。
• $a\leq x_{n}\leq b,\,\forall n\in \mathbb {N}$，咁樣$a\leq \lim x_{n}\leq b$。

證明：

（第一點） 假設第一點嘅結論唔成立，即係話$x_{n}$趨向嗰點$x<0$。

揀$\varepsilon :=-x$，注意呢個$-x$係正數。

因為$(x_{n})$係趨向一點，所以一定會有一個$N\in \mathbb {N}$，令到任何第$n\geq K$符合，

$x-\varepsilon <x_{n}<x+\varepsilon$。

淨係睇第$n=K$項，得知$x_{K}<x+\varepsilon =x+(-x)=0$。

因為假設咗第一點係唔成立，所以$x\geq 0$。

（第二點） 假設$(z_{n}):=(y_{n})-(x_{n})$同時假設任何一項$z_{n}\geq 0$。

求$\lim z_{n}$；

因為極限計算性質，得知$\lim z_{n}=\lim y_{n}-\lim x_{n}$。

因為第一點得知，$\lim z_{n}=\lim y_{n}-\lim x_{n}\geq 0$。

因此，$\lim y_{n}\geq \lim x_{n}$。

（第三點） 假設$y_{n}=(b,b,b,b,\cdots )$，利用上者得出$b\geq \lim x_{n}$。

將$y_{n}=x_{n}$同時將$x_{n}=(a,a,a,a,\cdots )$，利用上者得出$\lim x_{n}\geq a$。

合併上面兩條式，$b\geq \lim x_{n}\geq a$。

極限計算

假設有兩串趨向一點嘅數列$(x_{n})\rightarrow x$同$(y_{n})\rightarrow y$。假設有一點$c\in \mathbb {R}$。咁以下嘅式就會成立：

• $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=x+y$
• $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-y_{n})=x-y$
• $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}y_{n})=xy$

再假設有串趨向一點嘅數列$(z_{n})\rightarrow z$，而$z\neq 0$。咁樣

• $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}}{z_{n}}}={\frac {x}{z}}$

證明：

（第一同第二點）假設有兩串趨向一點嘅數列$(x_{n})\rightarrow x$同$(y_{n})\rightarrow y$。根據定義得出，揀任何一個$\varepsilon >0$，都會有

$\exists \,N'\in \mathbb {N}$，使到任何一個$x_{n}$佢係$n\geq N'$，符合$|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2}}$；

$\exists \,N''\in \mathbb {N}$，使到任何一個$y_{n}$佢係$n\geq N''$，符合$|y_{n}-y'|<{\frac {\varepsilon }{2}}$。

揀一個大啲嘅$N:=\sup\{N',N''\}$，使到$n\geq N$，

利用三角形不等式，得知

${\begin{aligned}|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|&=|(x_{n}-x)+(y_{n}-y)|\\&<|x_{n}-x|+|y_{n}-y|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

${\begin{aligned}|(x_{n}-y_{n})-(x-y)|&=|(x_{n}-x)-(y_{n}-y)|\\&<|x_{n}-x|+|-(y_{n}-y)|\\&<|x_{n}-x|+|(y_{n}-y)|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

（第三點） 因為綁定性質，所以得知有一個$M_{x}\geq 0$，令到任何一個$n\in \mathbb {N}$符合$|x_{n}|\leq M_{x}$。

定義$M:=\sup\{M_{x},|y|\}$，根據定義得出，揀任何一個$\varepsilon >0$，都會有

$\exists \,N'\in \mathbb {N}$，使到任何一個$x_{n}$佢係$n\geq N'$，符合$|x_{n}-x|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$；

$\exists \,N''\in \mathbb {N}$，使到任何一個$y_{n}$佢係$n\geq N''$，符合$|y_{n}-y'|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$。

再揀一個大啲嘅$N:=\sup\{N',N''\}$，使到$n\geq N$，

${\begin{aligned}|(x_{n}y_{n})-(xy)|&=|x_{n}y_{n}-xy+x_{n}y-x_{n}y|\\&<|x_{n}(y_{n}-y)+y(x_{n}-x)|\\&<|x_{n}||y_{n}-y|+|y||x_{n}-x|\\&<M({\frac {\varepsilon }{2M}})+M({\frac {\varepsilon }{2M}})\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

（第四點） $\vdash :$如果$(z_{n})\rightarrow z$，咁樣$\lim {\frac {1}{z_{n}}}={\frac {1}{z}}$。如果證明到呢個係啱嘅話，利用上面就可以證明到$\lim {\frac {x_{n}}{z_{n}}}={\frac {x_{n}}{z}}$。

將$\varepsilon :={\frac {1}{2}}|z|$，根據定義，一定會一個$N_{1}\in \mathbb {N}$，令到所有$z_{n}\geq N_{1}$符合$|z_{n}-z|<{\frac {1}{2}}|z|$。再利用三角形不等式，

${\begin{aligned}|z_{n}-z|&<{\frac {1}{2}}|z|\\|z_{n}|-|z|&<{\frac {1}{2}}|z|\\|z_{n}|&<|z|-{\frac {1}{2}}|z|\\|z_{n}|&<{\frac {1}{2}}|z|\\\end{aligned}}$

因為$|z_{n}|,|z|$都係正數，咁就得出，${\frac {1}{|z_{n}|}}<{\frac {2}{|z|}}$。

將$\varepsilon :={\frac {1}{2}}|z|^{2}\varepsilon$，根據定義，一定會一個$N_{2}\in \mathbb {N}$，令到所有$z_{n}\geq N_{2}$符合$|z_{n}-z|<{\frac {1}{2}}|z|^{2}\varepsilon$。

將兩串數例合併，定義$N:=\sup\{N_{1},N_{2}\}$，咁令到所有嘅$z_{n}\geq N$符合

${\begin{aligned}|{\frac {1}{z_{n}}}-{\frac {1}{z}}|&=|{\frac {z-z_{n}}{zz_{n}}}|\\&=|{\frac {1}{zz_{n}}}||z-z_{n}|\\&<{\frac {1}{|z||z_{n}|}}|z-z_{n}|\\&<{\frac {2}{|z||z_{n}|}}|z-z_{n}|\\&<\varepsilon \end{aligned}}$

因此，$\lim {\frac {1}{z_{n}}}={\frac {1}{z}}$。

例子

計算$\lim _{n\to \infty }{\frac {2n+1}{n}}$。

將$(x_{n}):=(2)$，$(y_{n}):=({\frac {1}{n}})$。

利用加法計算，$(x_{n}+y_{n})=(2+{\frac {1}{n}})=({\frac {2n+1}{n}})$。

因為$(x_{n})\rightarrow 2$，同埋$(y_{n})\rightarrow 0$

因此，$\lim _{n\to \infty }{\frac {2n+1}{n}}=2$。

推論

由上面嘅嘢，可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅：

• $\lim(a_{n}+b_{n}+\cdots +z_{n})=\lim(a_{n})+\lim(b_{n})+\cdots +\lim(z_{n})$。
• $\lim(a_{n}b_{n}\cdots z_{n})=\lim(a_{n})\lim(b_{n})\cdots \lim(z_{n})$。
• $\lim(a_{n}^{k})=\lim(a_{n})^{k}$。

夾縫定理

假設有三串實數（$\mathbb {R}$）數列，$x_{n}$，$y_{n}$，$z_{n}$，對應任何嘅$n\in \mathbb {N}$符合$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}$，同時$\lim x_{n}=\lim z_{n}$嘅話，$y_{n}$趨向一點，而$\lim x_{n}=\lim y_{n}=\lim z_{n}$。

證明：

假設$u=\lim x_{n}=\lim z_{n}$，根據定義，有一個對應既$K\in \mathbb {N}$，係每一個$n\geq K$項入面，都符合

$|x_{n}-u|<\varepsilon$同埋$|z_{n}-u|<\varepsilon$；

上面$|x_{n}-u|<\varepsilon$，可以得出$-\varepsilon <x_{n}-u<\varepsilon$；同時$|z_{n}-u|<\varepsilon$，可以得出$-\varepsilon <z_{n}-u<\varepsilon$。

同時對應呢個$n\geq K$，根據假設得出，

${\begin{aligned}x_{n}&\leq y_{n}&\leq z_{n}\\x_{n}-u&\leq y_{n}-u&\leq z_{n}-u\\-\varepsilon &<y_{n}-u&<\varepsilon \end{aligned}}$

因此得出$|y_{n}-u|<\varepsilon$，根據定義，對應嘅$K\in \mathbb {N}$，喺每一個$n\geq K$項入面，都符合$\lim x_{n}=\lim y_{n}=\lim z_{n}$。

睇埋

• 數列
• 增減數列
• 子數列
• 保西奴-華實斯定理