絕對值

絕對值（absolute value）係數學上面常用嘅概念。佢意指將所有嘅負數變成正數，正數都仲係正數。同時，佢可以代表兩個數字之間嘅距離。拓展落去，佢可以代表兩樣嘢之間嘅距離。

絕對值同時都係一個基本函數之一。有咗絕對值，可以推斷到好多有用嘅公式，其中一條就係三角形不等式。

定義

假設有一個實數$a\in \mathbb {R}$。佢嘅絕對值$|a|$就係

$$|a|:={\begin{cases}a&{\text{if }}a>0,\\0&{\text{if }}a=0,\\-a&{\text{if }}a<0.\end{cases}}$$

如果將呢個定義用函數圖形嚟表示，$|a|$會好似一個「V」字嘅樣。

例子

• $|5|=5$
• $|{-12}|=12$
• $|0|=0$

性質

性質一

如果$|a|=0$，咁一定係$a=0$。($|a|=0\iff a=0$)

證明：

因為三叉性質，所以$a>0$，$a<0$或者$a=0$。根據定義，只有$a=0$，先至會有$|a|=0$。

性質二

$|{-a}|=|a|,\,\forall a\in \mathbb {R}$

證明：

因為三叉性質，所以$a>0$，$a<0$或者$a=0$。

如果$a>0$，咁$-a<0$。得出$|{-a}|=-(-a)=a=|a|$。

如果$a<0$，咁$-a>0$。得出$|a|=-a=|{-a}|$。

如果$a=0$，咁$|a|=|0|=0=-0=|{-a}|$。

性質三

$|ab|=|a||b|,\,\forall a,b\in \mathbb {R}$

證明：

如果$a=0$或者$b=0$，咁$|ab|=|a||b|$。

因為性質二得知，無論$a$同$b$係正數係負數，佢哋嘅絕對值都係一樣。

$|ab|=ab=|a||b|$。

性質四

$|a^{2}|=a^{2},\,\forall a\in \mathbb {R}$

證明：

利用性質三得出，$|a^{2}|=|aa|=|a||a|=aa=a^{2}$。

性質五

如果$c\geq 0$，咁只有因為$-c\leq a\leq c$，先會得出$|a|\leq c$。換句話講，$|a|\leq c$同$-c\leq a\leq c$係同一個意思。

性質六

$-|a|\leq a\leq |a|,\,\forall a\in \mathbb {R}$

睇埋

• 三角形不等式
• 開方根
• 複數
• 向量