體 (數學)

場（英文：field），又譯做體（法文：corps、西班牙文：cuerpo）係一種代數結構。同時，佢又係環又係域。即係一個可以做加、減、乘、除嘅環。

場可以睇做最簡單嘅一種環，因為佢嘅理想只有兩個，一個係零理想，另一個係成個場自己。

佢主要經擴張域嚟討論多項式嘅根，即係伽華理論。

代數幾何入面都成日會用到場同埋場擴張，例如畀一個幾何物體，可以考慮佢嘅函數場（Function field），而呢個函數場好多時都包含住好多原本嘅幾何物件嘅資訊。同伽華理論唔同嘅係，代數幾何入面考慮嘅場，佢嘅超越維度（transcendental degree）好多時都係大過0，而伽華理論入面考慮嘅就好多時都係0維嘅。

定義

純代數定義

一個集${\textbf {F}}$，再加兩個二元運算$+$（加）同$\times$（乘），重有兩粒特別嘅元素，一粒係$0$；一粒係$1$，呢個設定符合以下條件：

1. $({\textbf {F}},+,0)$係阿標群。
2. $({\textbf {F}}\backslash \{0\},\times ,1)$係阿標群。
3. 對應任何$a$，$b$同$c$喺${\textbf {F}}$入面，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$。

咁${\textbf {F}}$就係一個場。

環論角度定義

利用環論嘅角度嚟睇，場都可以有同上面一樣嘅定義：

「一個帶${\underline {1}}$嘅可溝通環，如果佢入面所有非零嘅嘢都係可逆元（Unit），咁佢就係一個場。」

利用多項式定義

從上面嘅定義可以引伸出以下呢個定義：

「喺一個可溝通環到，當$a\neq 0$，$ax=b$條方程永遠有解嘅話，咁佢就係一個場。」

明顯，個解就係$x=a^{-1}b$。換句話講，呢個環可以做到加、減、乘、除。

例子

• $\mathbb {Q}$ —— 有理數；
• $\mathbb {R}$ —— 實數；
• $\mathbb {Z} _{5}$ —— 整數除以5嘅餘數嘅等價類。

以上呢三個都係場。

場係域

根據定義，明顯場就係一個域（Integral Domain）。可以引伸到以下定義：

「一個場係無兩粒非零嘢乘埋係零，即係無Zero Divisor。」

證明：

如果${\textbf {F}}$係一個場。設$a\in {\textbf {F}}$，$a\neq 0$。

如果$ab=0$，咁$0=a^{-1}\cdot 0=a^{-1}\cdot (a\cdot b)=b$。

咁即係任何兩粒非零嘢乘埋唔係零。

睇埋

• 域
• 有限場
• 環同位轉換
• 擴展場