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郝氏數列(Cauchy Sequence)係一種數列,係數學分析入面係一個基礎而重要嘅概念。呢個概念可以引伸到拓樸學,同完備性。
假設有一條實數列。
畀任何一個,如果有一個自然數,令到數列入面嘅第項符合,。
咁呢條實數列就係郝氏數列。
- 概念
畀咗一個,同時假設有一條數例,。
計每一個項減走之前嗰一個項,,當計到第一次發現。
假設嗰兩項做同,而。咁佢就係一條郝氏數列。
例子
假設,咁。
因此,由第一項就符合呢個條件,佢就係一條郝氏數列。
郝氏要求(Cauchy Convergence Criterion)係郝氏數列其中一個性質。佢指明任務一條趨向一點嘅數例都係一條郝氏數列,反之亦然。
假設實數列係趨向一點,咁就係郝氏數列。
證明:
假設實數列係趨向一點,姐係
畀任何一個,佢都會有一個數,令到第項符合。
將,咁樣都會符合。
利用三角形不等式,得知
因此,佢係郝氏數列。
任何一條郝氏數列都係被綁定。
證明:
假設實數列係郝氏數列,將,根據定義,
佢都會有一個數,令到第項符合。
利用三角形不等式,得知
定義,咁樣對應該任何既,
。
一條實數列係趨向一點(即係佢一定係)一條郝氏數列。
證明:
() 利用性質一。
() 利用性質二得知,所有郝氏數列都係被綁定。因此,可以利用保西奴-華實斯定理;
可以從郝氏實數列中,得出一條子數列,而且呢條子數列趨向呢點。
因為係郝氏數列,利用定義得知,
畀任何一個,都會有一個項符合,。
因為趨向呢點,利用定義得知,
畀任何一個,都會有一個項符合,。
因為,所以同時符合郝氏數列,因此可以將,得出
。
計算,
因此佢係趨向呢點。