古典力學

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牛頓本鉅著《自然哲學嘅數學原理》其中一頁;佢上面有用拉丁文寫嘅第一同埋第二定律原版(1687 年出版)。

古典力學粵拼gu2 din2 lik6 hok6英國話:Classical mechanics),又叫做牛頓力學(Newtonian mechanics)或者經典力學,喺物理學上係力學嘅兩大分枝之一。佢主要由英國科學家牛頓同埋德國哲學家萊布尼茲(Gottfried Leibniz)搞起。佢主要研究宇宙入面啲物體點樣喺嘅影響之下郁動-呢個研究題目好古老,但係要到咗 15 世紀打後牛頓等思想家嘅研究先至正式咁有飛躍性嘅發展:古典力學涉及幾條簡單嘅物理定律,並且嘗試用呢柞定律嚟解釋嗮宇宙入面啲物體嘅郁動-即係話佢解釋現象嘅能力勁得嚟又好簡潔,所以喺牛頓等人提出咗佢之後嗰幾個世紀,佢一路都好有影響力,要等到成廿世紀初之後古典力學先至開始喺進階物理學研究嗰度失去影響力[1][2][3]

古典力學喺符合咗兩個條件嘅環境之下會畀到極之準嘅預測:(一)研究嘅物體唔算好重得嚟又明顯大過原子(Atom)尺度;而且(二)啲嘢郁嘅速度要明顯低過光速一截。當呢兩個條件是旦一個達唔到嗰時,用古典力學計出嚟嘅結果會冇嗮準確性-當研究得原子咁細粒(更者更細粒)嘅嘢嗰陣要用量子力學至得,而研究一啲速度接近光速嘅嘢嗰陣就要用相對論至得。所以一去到高級嘅物理學研究嗰陣(喺呢啲研究嗰度成日都會撞到啲細粒過原子或者以接近光速飛嘅嘢)啲物理學家實係會用好似後者等嘅高階理論,而唔會用古典力學。雖然係咁,喺一般嘅地球環境之下,呢兩個條件幾乎一定會達到,令到古典力學就算到咗廿一世紀都重係喺好多工程學嘅應用嗰度有用[4]

古典力學早期幾乎係由牛頓等人一手搞起嘅,而喺 18 到 19 世紀嗰陣重有咗拉格朗日力學(Lagrangian mechanics)同埋哈密頓力學(Hamiltonian mechanics)呢啲理論框架將牛頓嗰套嘢用分析力學(Analytical mechanics)延伸[5]

主要概念[編輯]

灰色嘅係成舊物體,喺古典力學嘅分析嗰度多數都會當佢係一個有質量嘅細點就算數。

古典力學係一個有相當高簡潔性嘅科學理論:佢用咗少量嘅基本概念同埋假設就可以解釋到大量嘅自然現象。古典力學首先假設咗佢分析緊嘅物體冚唪唥都係點質量(Point mass)[6]-佢將所有嘅物體抽象化咁諗做一啲淨係得質量但係冇容量嘅細點,而跟手就淨係靠住三個參數-嗰舊物體嘅位置,佢嘅質量,同埋佢所受嘅(假設呢啲嘢係可知嘅)-就有得完整咁分析嗮件物體嘅郁動。

值得一提嘅係,「點質量」呢個概念係一種抽象化:喺現實世界嗰度,古典力學分析得到嘅嘢實係有一定嘅大細容量嘅,所以呢個點質量假設查實就唔符合現實。之但係力學研究嘅經驗說明咗,當啲嘢係點質量呢個做法計到出嚟嘅結果冇問題-就算一舊物體係有大細嘅,佢喺古典力學入面嘅行為同「一柞點質量」冇分別,而一舊咁嘅物體嘅重心(Center of mass)嘅行為同一粒點質量冇分別,計出嚟嘅結果都一樣。所以呢種抽象化嘅做法一般都畀科學界認為佢係可以接受嘅。

除咗咁,古典力學重假設咗空間係跟歐幾里得幾何(Euclidean geometry)嘅[7]

古典力學涉及嘅變數有以下呢啲,而佢哋大部份都可以由位置嗰度衍生出嚟:

位置[編輯]

一個三維嘅坐標系統;喺呢個空間入面每件物體有三個坐標值,而且線同線之間有角度。幅圖入面嗰點嘅位置可以寫做()-呢三個值表達「嗰點嘅位置喺由 X 軸向 Y 軸轉 度,由 Z 軸向 XY 平面轉 度, 米嗰個地方」。
內文: 運動學

坐標系統(Coordinate system)係古典力學嘅基礎。佢係一種表達啲嘢嘅位置嘅工具。要用一個坐標系統表達物體嘅位置,首先就要攞空間裏面嘅是旦一個點嚟做原點(Origin;),喺原點呢個位置,每一條軸嘅坐標值都係,坐標值嘅數量等同個坐標系統嘅維度(Dimension),而一件物體嘅位置就係由呢啲坐標值嚟表達[8]。例如如果分析緊嘅空間得一條直線,可以揀佢上面是旦一個點做原點整返個一維嘅坐標系統,當原點嘅左手邊做值,咁喺原點左手邊一米嘅嘢嘅位置就係( 米),而喺原點右手邊兩米嘅嘢嘅位置就係( 米);如果分析緊嘅空間係一個正方形,就有得揀佢嘅左下角做原點整返個兩維嘅坐標系統,呢個系統會有 X 同 Y 兩條軸,分別以向右同向上做正值,咁喺呢個空間入面,嗰個正方形嘅右上角嘅位置就會係( 米, 米)- 係個正方形嘅長度,而 係個正方形嘅闊度;最後,一般現實世界會攞古典力學嚟分析嘅空間都係三維嘅-會有長度、闊度、同埋高度三個坐標值。而且喺兩維或者以上嘅空間入面,唔同嘅之間重有角度呢個變數要考慮,角度都有得攞嚟表達物體嘅位置。

喺古典力學入面,一件物體嘅郁動就係佢個位置隨住時間改變嘅率。順帶一提,喺包括古典力學嘅古典物理學入面,時間一般都畀人當佢係絕對嘅-即係話嗰時啲學者覺得時間嘅流動呢家嘢無論由邊個觀察者嘅角度睇都係一樣嘅,如果有兩件事件之間隔咗一秒發生,咁任何一個觀察者所睇到嘅「呢兩件事件之間嘅時間距離」都會係一秒。事實上,後嚟對於相對論嘅研究說明咗呢個諗法係啱唔嗮嘅,但係喺一般地球環境之下,呢個「絕對時間」嘅假設都重係啱用嘅。

位移[編輯]

內文: 位移

位移(Displacement)就係指位置嘅改變,係喺古典力學計數嗰陣要用嘅一個概念,假設有件物體由 呢個位置郁咗去新位置 嗰度,佢嘅位移(寫做「」或者「」)就係 ,例如有件物體喺一個三維空間入面由()呢點郁去()嗰點度,佢嘅位移就係()-等如()。位移係有方向性嘅物理量-一個向量(Vector),所以除非係喺一維空間,一個位移冇得淨係用一個數值表達得嗮,而要用好幾個數值嚟表達。

速度[編輯]

內文: 速度

喺古典力學嗰度,速度(Velocity)嘅正式定義係「位移對時間嘅導數」(詳情請睇微積分相關嘅文[9]),呢句嘢用日常語言講出嚟嘅話就係「位移隨住時間改變嘅率」,用數學方程式表達係:

;當中, 係速度,而 就係成個過程用咗嘅時間。

例如有一件物體喺 10 秒之間響一個三維空間入面由原點郁去()嗰點度,佢嘅速度就係

)-等如()。

因為位移係一個向量,所以速度都係一個向量。如果距離係以單位嘅話,呢個向量表示「件物體嘅速度沿 X 軸係 0.4 米每秒,沿 Y 軸係 0.3 米每秒,沿 Z 軸係 0 米每秒」。呢件物件行咗嘅距離(用畢氏定理計到)係 5 米,所以佢嘅速率(Speed;指唔考慮方向,淨係諗個速度嘅值,等如行咗嘅距離時間)就等如

-等如 米每秒。

要留意嘅係,喺嚴格嘅物理學用詞嗰度,「速度」同「速率」係兩個唔同嘅概念:前者係一個向量-一個有方向嘅物理量-所以佢要用好幾個數字先至表達得嗮佢包含嘅所有內容(即係件物體由三條軸睇分別郁咗幾多);而後者係一個唔考慮方向嘅標量(Scalar),淨係包含咗「件物體郁得幾快」,所以用一個數字已經能夠表達到嗮佢包含嘅內容。雖然係咁,喺日常用語入面,啲人用起「速度」同「速率」呢兩個詞上嚟都好求其,一般都當正佢哋係同義詞咁。

兩架火車之間嘅相對速度

相對速度[編輯]

內文: 相對速度

因為速度係一個向量,所以佢有得就住方向嚟直接咁攞嚟做相對速度(Relative velocity)。例如有兩架車(為咗簡單起見,淨係考慮佢哋向「西」呢條軸嘅郁動),一架向東以時速 60 公里行(速度係「向東時速 60 公里」,速率係「時速 60 公里」)而另一架向東以時速 50 公里,前者爬後者頭,由慢啲嗰架車嘅角度睇,快啲嗰架車嘅速度係向東時速 10 公里(60 - 50),而由快啲嗰架車嘅角度睇,慢啲嗰架車嘅速度係向西時速 10 公里(50 - 60;「向東 -10」等如「向西 10」,因為東同西係相反嘅方向)。將唔同嘅物體嘅速度加減可以知道佢哋嘅相對速度-呢樣嘢速率做唔到,因為速率唔包含方向,將兩架車嘅速率就咁相加減唔會畀分析嗰個人知道兩架車嘅相對速度。

再抽象些少講嘅話就係:設第一架車嘅速度做 ,第二架車嘅速度做 ;其中兩架車嘅速率就分別係 ,而 分別係兩架車向住佢哋個方向嘅單位向量(Unit vector)。咁由第二架車嗰度望,第一架車嘅速度

同一道理,由第一架車嗰度望,第二架車嘅速度

如果呢兩架車嘅郁嗰條軸一樣,,咁呢條公式簡化咗就係

加速度[編輯]

內文: 加速度

加速度(Acceleration)喺定義上係「速度對時間嘅導數」-同一道理,用日常語言講出嚟嘅話就係「速度隨住時間改變嘅率」,用數學方程式表達嘅話係:

就係加速度。

加速度都係一個向量,佢指速度改變得有幾快。要留意嘅係,因為加速度係向量,所以就算佢係負數都唔一定代表件物體係減緊速。例如有件物體,佢個加速度係 -5 米每二次方秒。呢個數字表示佢個速度以每秒「-5 米每秒」嘅率咁改變緊,咁樣可以表示兩樣嘢:可能件物體個速度喺一秒之間由「10 米每秒」變做「5 米每秒」-即係一個減速,但係佢個速度由頭到尾都重係向住正方向嘅;又或者係表示佢個速度喺一秒之間由「-5 米每秒」變做「-10 米每秒」-呢個反而係一個向住負方向嘅加速。

參考系[編輯]

兩個原點同方向唔同嘅參考系;兩個都係合理嘅。
內文: 參考系慣性參考系

參考系(Frame of reference)喺物理學入面係指「用嚟測量同埋紀錄其他物體嘅屬性嘅坐標系統」[10]。頭先提到,喺做古典力學分析嗰陣首先要做嘅嘢係揾返個點做原點,呢樣嘢係夾硬嚟(Arbitrary)嘅-現實世界嘅空間入面冇啲乜嘢原點(雖然古典力學假定咗有),如果有兩件物體佢哋喺同一條打橫嘅直線上面,相距一米:咁有得揀左邊嗰件做原點,當右手邊做正,而喺呢個情況下右邊嗰件物體嘅位置會係( 米);又可以揀左邊嗰件做原點,左手邊做正,而喺呢個情況下右邊嗰件物體嘅位置會係( 米)。即係話揀參考系-揀邊點做原點同埋邊個方向做正負-係隨意嘅,只要一揀好咗之後喺接住落嚟嘅分析嗰度一致咁用,計出嚟嘅結果就唔會有問題。

假想而家有一粒以若干非零速度飛緊嘅粒子,由兩個唔同嘅參考系 同埋 嗰度量度佢。又假想相對於 呢個參考系, 呢個參考系以 嘅速度郁緊(為咗簡單起見,呢個例子淨係考慮佢哋沿一個軸嘅郁動)。咁企喺呢兩個參考系嗰度嘅觀察者會分別咁量度到以下嘅結果:

  • -同一粒粒子嘅郁動,喺 量度到嘅速度係等如喺 量度到嘅速度減
  • -粒粒子量度到嘅加速度同用邊個參考系無關。
  • -用牛頓第二定律,施喺粒粒子上面嘅同用邊個慣性參考系無關。

一個可能要計呢啲數嘅情況係一個天文學研究:有兩個觀察者,一個企喺地球,另一個企喺月球,兩個都當自己係原點喺度嘗試測量火星嘅郁動(三樣嘢都郁緊)-雖然喺呢個情況,條數要計 3 次,因為呢柞天體各自喺空間嘅三條軸嗰度都有位移,喺三條軸嗰度都有速度值。

啲嘢相撞嗰陣會有動量嘅轉移-一舊嘢撞落第舊嘢度會令到後者嘅郁動有所改變。圖入面嘅係檯波

動量[編輯]

內文: 動量

喺古典力學入面,線性動量(Linear momentum,通常簡稱「Momentum」)[11][12]-簡稱動量,數學符號係 -係一件物體嘅質量同佢嘅速度乘埋得出嘅數:

係件物體嘅質量。

佢同速度一樣係一個向量,有方向同數值,喺國際單位制(SI Units)嗰度嘅單位係公斤米每秒。用日常用語講嘅話,動量表達咗一件物體撞落去第啲嘢嗰陣會有幾能夠令到後者嘅郁動有所改變:假設有一個檯波,佢以一定嘅速度撞落去第個檯波嗰度。假設所有因素唔變,如果前者嘅速度愈快或者質量愈大,咁後者畀佢撞完之後嘅郁動嘅改變幅度一定會愈大。

根據動量守恆定律(Law of conservation of momentum),喺一個對外封閉嘅系統入面,所有嘢嘅動量嘅總和永遠都唔會變-如果有舊嘢撞落去一舊本嚟唔郁嘅嘢嗰度嘅話,後者會吸收動量並且加速,而前者實會少咁咗啲動量而減速-所以碰撞(Collision)呢家嘢可以話本質上就係「動量嘅轉移」。

動量呢個數喺好多高階嘅物理學研究嗰度都要用到。

[編輯]

內文: 牛頓第二定律

(Force)呢個概念同動量好有啦掕。牛頓佢係歷史上第一個用數學方程式表達「力」呢個概念嘅,而根據佢條第二定律,力係用動量嚟定義嘅:

呢條式講嘅係「作用喺一件物體上面嘅力」()等如「佢前前後後嘅動量改變」()除「呢個作用所維持嘅時間」()。即係話假設所有因素唔變,作用喺嗰件物體上面嘅力愈大(簡單啲講就係愈大力推或者拉佢),件物體嘅動量改變會愈大;而如果個力保持唔變,個作用持續嘅時間愈短,件物體嘅動量改變都會愈大。假定件物體喺成個作用嘅過程入面質量唔變,因為「速度隨時間嘅變率」等如加速度(a = dv/dt),第二定律條式重有得簡化做:

能量[編輯]

美國德州一個油田度嘅一個轤轆;條鋼纜施吊住舊嘢,喺後者身上施咗一股向上嘅力。如果冇咗呢股力,舊嘢會向下加速。
內文: 動能、 同 位能

如果響某個特定嘅參考系入面,有一股力 持續咁施落去一件有質量嘅物體嗰度,而且喺成個過程期間件物體行咗 [註 1] 咁遠嘅位移,用 C 代表佢行嗰條軌跡。因為成個過程入面有股力作用喺佢身上,件物體會有個非零嘅加速度,而有個非零嘅加速度代表佢個速度(同埋動量)會係咁變緊。成個過程入面,「嗰股力做嘅(Work done)」係一個冇方向嘅標量,定義上係[13]

,或者寫做

如果喺成個過程入面股力個數值唔一致,咁個功嘅值可以用積分(Integral;詳情睇微積分相關嘅文)嘅方法計:

如果有股力,佢喺件物體身上作嘅功係無論件物體嘅移動軌跡係點都一樣嘅話,呢股力就係一股保守力(Conservative force),例如重力就係一股保守力,而摩擦力唔係。

有咗功呢個概念,就有得去諗力學入面有關能量嘅問題[14]。首先,根據運動方程(Equations of Motions)[15]

係件物體嘅最後速度, 係佢初頭個速度;跟手執吓呢條式就會變成
,即係
,跟住代呢條式落去功嗰條式()嗰度嘅話就會出到
,跟住一路執:

最尾嗰條式表示咗,當有股力喺一件物體上面作功令到後者速度改變嗰陣時,屬於件物體嘅某啲嘢會有所改變,而呢樣嘢同件物體個質量以及佢個速度嘅二次方成正比。呢樣嘢就係物理學上面所講嘅動能(Kinetic energy)-物體因為佢哋嘅郁動而帶嘅能量。

除咗動能之外,重有所謂嘅位能(Potential energy)[16]-物體因為喺某啲力場入面嘅位置而有嘅能量。喺一個重力場入面,要將一件物體移離個力場嘅中心-「抵抗重力場嘅吸引力」-實要用一啲力同能量。如果除咗重力之外冇任何嘅力搞件物體,畀佢自由下墜(Free fall)嘅話,佢會因為受到個重力場嘅力吸引而傾向向住個重力場嘅中心嗰度加速(第二定律)。假想有件物體喺一粒行星嘅重力場入面,唔受干擾咁樣受到股重力 向住粒星嘅中心跌落嘅話,佢跌咗某段距離 之後,股重力喺佢身上作咗嘅功就會等如:

順帶一提,呢條式假定咗 同粒行星嘅直徑比起上嚟好細,所以喺成個過程入面 嘅數值可以當佢冇幾乎冇變到(睇埋:牛頓萬有引力定律);同時,件物體因為受咗力所以會加速,而佢嘅速度升表示佢帶嘅動能會跟住升。如果件嘢冇受空氣阻力而減速嘅話,佢失去嘅位能應該會等如佢得到嘅動能(能量守恆定律),即係話:

由呢條式嗰度可以睇到「一件物體受嘅重力」、「佢自由下墜咗嘅距離」、同埋「佢嘅動能改變」之間嘅關係。用呢柞式計到出嚟嗰啲結果(考慮埋空氣阻力呢啲立雜嘢嘅話)同實驗得出嘅結果吻合。

動能同位能喺物理學同埋好多工程學上都係不可或缺嘅概念。佢哋喺國際單位制嗰度嘅單位係焦耳(Joule)。

啱用嘅範圍[編輯]

古典力學啱用嘅範圍;如果分析緊嘅嘢尺寸得原子咁大或者係以接近光速郁緊,古典力學計到嘅結果會錯嗮。

古典力學喺研究一般地球環境之下嘅日常生活會撞到嘅物體嗰陣都係啱用嘅-喺呢種環境之下啲嘢嘅尺寸大過原子好多而且速度又低過光速一截,所以喺廿世紀打前古典力學一路都好好用。但係廿世紀初,人類開始研究得原子咁大粒嘅嘢同埋一啲以接近光速郁動嘅物體發覺用古典力學嚟分析呢啲嘢嗰陣計到出嚟嘅結果錯嗮,同實驗觀察到嘅結果完全唔同。喺呢個時期,好似愛因斯坦等嘅物理學者提出咗相對論同埋量子力學等嘅學說先至令到科學界更加深入咁了解到呢啲嘢嘅本質。一般嚟講,古典力學可以話只不過係相對論同埋量子力學嘅一個特殊情況。

狹義相對論嘅情況[編輯]

內文: 狹義相對論

喺古典力學嗰度,一粒粒子嘅動量

其中 係粒粒子嘅質量,而 係佢嘅速度。

狹義相對論(Special theory of relativity)入面,一粒粒子嘅動量係

其中 係粒粒子嘅靜止質量(Rest mass)。由呢條式入面睇得到,當粒粒子嘅速度低過光速好多()嗰陣, 會差唔多等如零,所以 開方會大約等如一,所以個動量會大致上等如 -當粒粒子嘅速度低過光速好多嘅時候,用古典力學計到嘅結果會同用狹義相對論計到嘅近乎一樣,但係當粒粒子嘅速度愈嚟愈接近光速,用古典力學計到嘅結果同用狹義相對論計到嘅之間嘅差異會愈嚟愈大(而實驗結果都係撐狹義相對論),直至去到某一個點,古典力學計到嘅結果會同實驗數據得出嘅差異大到啲人冇可能再當古典力學係啱-人類就係喺廿世紀初撞到呢一點。因為咁,到咗廿一世紀,嚟真嘅物理學研究唔會再用古典力學,而係會用相對論呢啲更加精確嘅理論。

雖然係咁,因為古典力學喺一般地球環境之下都重係啱用,而且佢啲方程式比較簡單,所以工程學好多時都重係會揀用古典力學嚟計數。

量子力學嘅情況[編輯]

睇埋[編輯]

用古典力學可以整到各種嘅機械

古典力學定律[編輯]

註釋[編輯]

  1. Δr = rfinalrinitialrfinal 係件物體最後個位置,而 rinitial 係佢初頭個位置。

[編輯]

  1. Bettini, Alessandro (2016). A Course in Classical Physics 1—Mechanics. Springer. p. vii.
  2. French, A.P. (1971). Newtonian Mechanics. New York: W. W. Norton & Company. p. 3.
  3. Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (2014). An Introduction to Mechanics (Second ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 49.
  4. Feynman, Richard (1999). The Feynman Lectures on Physics. Perseus Publishing.
  5. Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Classical dynamics of particles and systems (5. ed.). Belmont, Calif. [u.a.]: Brooks/Cole. p. 50
  6. H.C. Ohanian, J.T. Markert (2007). Physics for Engineers and Scientists. 1 (3rd ed.).
  7. MIT physics 8.01 lecture notes (page 12)
  8. Wolfram MathWorld - Coordinates
  9. Jesseph, Douglas M. (1998). "Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes". Perspectives on Science. 6.1&2: 6–40. Retrieved 31 December 2011.
  10. Donald T Greenwood (1997). Classical dynamics (Reprint of 1977 edition by Prentice-Hall ed.). Courier Dover Publications. p. 313.
  11. Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2nd ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co.
  12. The Physics Classroom - Momentum
  13. Movement means energy
  14. What is kinetic energy?
  15. Derivation of the Kinematics Equation
  16. What is gravitational potential energy?

參考[編輯]