生還函數

生還函數sang1 waan4 haam4 sou3（英文：survival function，$S(t)$）係生還模型入面最基本嗰個函數，負責定義「生存得到超過 $t$ 咁耐」嘅機率－而如果個模型係模擬緊病同死亡以外嘅現象，生還函數模擬嘅就係「過咗 $t$ 咁耐，終結事件都仲未發生」嘅機率。數學化啲講即係：

$S(t)=P(T>t),0<t<\infty$

$S(t)$ 嘅數值响一開始嗰陣係 1，然後會慢慢噉跌，最後變成接近 0 嘅數值，但永遠唔會變成負數。$S(t)$ 另一個重要特徵係永遠唔會升－因為生還分析本質上就係模擬緊啲慢慢噉趨向終結事件（例如慢慢噉趨向死亡）嘅現象，即係

$S(t)\geq S(u),{\text{if }}t\leq u$

－而呢句嘢講嘅，係生還分析最重要嘅特徵之一。响實際應用上，啲人通常會設定生還函數係指數函數、威布分佈或者伽瑪分佈呀噉，例如當中指數函數望落會係噉嘅樣：

$S(t)=e^{-\lambda t}$

進階分析

睇埋：危機函數

進一步噉分析生還函數嘅話：

• 危機函數（hazard function，$h(t)$）：指以下嘅函數：

  $h(t)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {P(t<T<t+\delta |T>t)}{\delta }}$

  • 用日常用語嚟解，$h(t)$ 大致可以理解做個個體身處嘅情況「有幾危險」：如果分析緊啲有癌症嘅病人生存到幾耐，$h(t)$ 反映「已知個個體生存咗超過 $t$ 咁耐時間，佢响下一瞬間死」嘅機率；而如果分析緊嘅係設計出嚟嘅機械行到幾耐先壞，噉 $h(t)$ 就反映咗「已知部機械正常運作咗超過 $t$ 咁耐時間，佢响下一瞬間故障」嘅機率。借用精算學詞彙嘅話，$h(t)$ 又有個花名叫可死之力（force of mortality）－意思可以解做「可死呢種特性嘅力量有幾大」。
• 生還函數可以改少少，變成累計風險函數（cumulative risk function）：

  $f(t)=-{\frac {dS(t)}{dt}}$；用日常用語講，累計風險函數表示「死咗人總數升得有幾快」。

• 生還函數可以用積分，提供埋生還時間嘅期望值 $\mu$：

  $\mu =\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt$

  • 用日常用語講，$\mu$ 反映咗「『生存 $t_{1}$ 咁耐時間嘅機率乘埋 $t_{1}$』、『生存 $t_{2}$ 咁耐時間嘅機率乘埋 $t_{2}$』... 如此類推加埋」，反映咗「是但搵個個體嚟睇，預佢會生存到幾耐」呢樣資訊。

... 呀噉。

睇埋

• 指數函數