傅利葉分析

傅利葉分析（Fourier analysis）係研究一個函數同啲基本三角函數嘅關係嘅，後者可以加和成前者。傅利葉分析當中包含有從函數分解成基本三角函數嘅傅利葉級數同埋傅利葉變換等等過程，經常亦都包含到啲分解過程嘅逆過程。喺仲要普適嘅情況下（抽象調和分析），傅利葉分析個領域研究到廣義嘅傅利葉變換，之經典嘅傅利葉級數、傅利葉變換、同埋拉普拉斯變換、梅林變換與及阿達馬變換都係佢啲特例噉解。

傅利葉分析喺各種科學技術分支裏便都十分之關鍵。佢個應用範圍涵蓋埋物理學（聲學、光學、潮汐、天體物理學）、數學（數論、統計、組合論同概率論）嘅好多子科，與及訊號處理、密碼學、海洋學同經濟學等等領域。

經典傅利葉分析啲變體

下低幅表擺有唔同嘅傅利葉分析過程變體，對應唔同連續性同埋週期性嘅定義域。

傅利葉分析家族啲變體嘅定义
定義域	連續	離散
週期	傅利葉級數	離散傅利葉變換（DFT）
	${\bar {x}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\!X[k]\;e^{i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}$	$x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\;e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn},\quad n=0,\dots ,N-1.$
	$X[k]={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}{\bar {x}}(t)\;e^{-i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}\,dt$	$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\;e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn},\quad k=0,\dots ,N-1.$
非週期	連續傅利葉變換	離散時間傅利葉變換（DTFT）
	$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df$	$x[n]=T_{s}\int _{1/T_{s}}{\bar {X}}(f)\ e^{i2\pi fnT_{s}}\ df$
	$X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt$	${\bar {X}}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]\ e^{-i2\pi fnT_{s}}$

${\bar {x}}(t)$ 同 ${\bar {X}}(f)$ 都係週期函數，週期分別係 $T_{0}$ 戥 $f_{s}=1/T_{s}$ ；
$x[n]$ 同 $X[k]$ 都係無限序列，間隔分別係 $T_{s}$ 戥 $f_{0}=1/T_{0}$ ；
$x_{n}$ 同 $X_{k}$ 都係有限序列，序列長度都係 $N$ 。

廣義傅利葉分析

抽象調和分析係拓展傅利葉分析到啲局部緊緻拓撲群嘅，喺啲群度可以用Haar測度嚟定義傅利葉積分、之有勒貝格測度作爲特例。列夫·龐特里亞展（英文：Lev Pontryagin）引入嘅特徵概念係抽象調和分析嘅核心，即局部緊緻阿標羣 $G$ 對到N維球胚 $\mathrm {S} ^{1}$ 嘅連續群同態 $\chi \colon G\to \mathrm {S} ^{1}$ 。好似線性泛函與及對偶空間，佢哋整體形成對偶群 ${\widehat {G}}$ 。對偶群嘅概念係透過龐特里亞展對偶定理（英文：Pontryagin duality）證明嘅。喺抽象調和分析當中，廣義嘅傅利葉變換係噉樣定義嘅：

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(f)\colon {\widehat {G}}&\rightarrow {\mathbb {C} },\\{\mathcal {F}}(f)(\chi )&=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\mathrm {d} \lambda (x)\end{aligned}}$

喺揀選 $G=\mathbb {R}$ 同埋 $\chi _{z}(x)=e^{ixz}$ 之下有 ${\widehat {G}}=\mathbb {R}$ ，噉樣就得到經典嘅連續傅利葉變換。

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