學習曲線

某位受試者條學習曲線：打戙軸係某個會隨住學習而數值上升嘅指標，例如係正確完成工作嘅機率。

一大班人嘅學習曲線加埋嘅樣：群體學習曲線傾向平滑，噉係因為啲隨機上落會互相抵消。

喺心理學等領域上，學習曲線（參見英文：learning curve，LC ）係一類嘅數學模型，用曲線嚟描述學習者嘅表現，點樣隨住佢重複係噉練習而起變化：設打戙軸做學習者喺某項工作 T 當中嘅表現而打橫軸做時間或者練習嘅次數，當中 T 可以係任何需要運用認知資源嘅工作，例如係喺裝配線上組裝產品噉。

想像學者者依家一路係噉做 T，重複做一段時間，正常嚟講隨住時間過去，佢喺呢項工作上嘅表現理應會愈嚟愈好，做得愈嚟愈熟手，所以條學習曲線嘅斜率大致上會係正數，而根據過往嘅研究，條線去到某一個點，就因為受試者嘅技術去到最高點而變平。

對學習曲線嘅研究始於組織心理學，即係心理學同管理學交界領域，研究組織成員嘅心理變化，以及係呢啲心理變化點樣影響佢哋嘅工作效能：喺一九三六年，美國有航空工程方面嘅專家喺度研究工人組裝飛機嗰陣嘅效率，研究一輪之後提出咗 80% 學習曲線嘅諗法，指出喺航空工業中，隨住一班工人愈做愈熟，佢哋組裝飛機嘅成本平均會下降兩成咁多。好似噉嘅諗頭，及後喺認知科學同人因工程等嘅領域上受到採用，形成學習曲線相關嘅研究。

基本概論

圖中個細路喺度溫書。隨住時間過去，佢嘅表現－以對學過嘅內容嘅記憶等嘅指標衡量－理應會改變。

圖中個學生喺度學芭蕾舞。隨住時間過去，佢嘅表現－以跳啱嘅機率等嘅指標衡量－理應會改變。

内文：學習

睇埋：記憶同遺忘

定義上，學習曲線係用嚟模擬學習現象嘅數學模型：喺心理學等學科，學習係指個體吸收知識、技能同行為嘅過程，包括獲取新知識、新技能或者新行為，又可以係改變舊有嘅行為。學習呢種現象無處不在，例如依家一個學生學木工，如果佢真係學到嘢，噉佢理應會愈嚟愈識做，而佢知識技能嘅增長，會反映喺某啲客觀量度到嘅變數之上－譬如係做木工作業嘅速度，或者係做木工作業嗰陣嘅犯錯率等等；呢啲數值會隨時間而變化，因此學習現象可以抽象化，當做表現指標隨時間改變嘅曲線，呢種曲線就係所謂嘅學習曲線。

喺二十一世紀初嘅學習曲線研究上，表現可以用多種指標量度，包括：

• 每個單位生產所需嘅時間：數值會隨學習而下降。
• 每個單位時間嘅生產量：數值會隨學習上升。
• 每個單位生產用嘅成本：數值會隨學習下降。
• 反應時間：數值會隨學習下降。
• 出錯率：數值會隨學習下降。

要留意嘅係，學習曲線嘅正式學術定義係：

表現隨時間變化嘅曲線

不過，一般日常用語中，學習曲線一詞嘅意思可以有少少唔同：喺英文嘅日常用語裡便，學習曲線好多時係指表現需要點樣隨時間變化，例如英文入便話學習曲線險峻通常係指某一樣工作嘅難度喺初期就會提升得好快，例如打機，某隻遊戲設計到初期關卡嘅難度會快速提升，所以玩家被迫初時就要學得好快。

呢篇文用嘅，係學習曲線嘅學術定義。

單變量模型

對數線性模型

工人喺裝配線上組裝汽車。

基本模型

睇埋：冪定律

對數線性模型係最基本嗰種學習曲線模型，條式如下：

$y=C_{1}x^{b}$ $(1)$

當中

$-1<b<0$

當中 $y$ 係完成下一件生產所需嘅時間或成本，呢個值理論上會隨住學習而下降；$x$ 係總共生產咗幾多件；$C_{1}$ 係指第一件產出花咗嘅時間或成本；而 $b$ 呢個參數則主宰住條線嘅斜率，反映個工人學嘢學得有幾快－ $b$ 數值細接近 -1 就反映佢完成一件生產所需嘅時間成本快速下降，表示佢學得快，反之如果 $b$ 數值大，接近 0，就表示佢學得慢，做極都無法令到 $y$ 嘅值明顯下跌。

有人試過將對數線性模型用於喺電子工程、化學工程同汽車工業等領域當中，用嚟模擬工人嘅生產力。一般嚟講過往經驗顯示，對數線性模型可以準確噉模擬工人對重複性質嘅工作嘅學習，例如係喺裝配線上組裝器械呀噉，因此，呢個模型對生產計劃有用。

群體曲線

睇埋：常態分佈

喺實際應用上，個體嘅線通常冇群體線咁平滑：個體嘅學習曲線，梗會有隨機嘅上落，可以想像成係喺 (1) 嗰條式加個誤差項 $e_{i}$ ：

$y=C_{1}x^{b}+e_{i}$

當中 $e_{i}$ 喺每個時間點數值都唔同，而且隨機，若果將包含 $e_{i}$ 嘅呢個 $y$ 畫做隨 $x$ 改變嘅線，條線會有好多無法預測嘅上上落落，但整體仍然係偏跌。依家想像搵一班人返嚟，計佢哋喺某時間點嘅群體 $y$，是謂 $y_{baan}$，當中 baan 取自班嘅粵拼：

$y_{baan}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+...$，當中 $y_{i}$ 係第 $i$ 個個體喺呢個時間點嘅 $y$ 值。

由於 $e_{i}$ 定義上係隨機嘅，所以一大班人喺某一個時間點嘅平均 $e_{i}$ －即係 $E(e_{i})$，$e_{i}$ 嘅預期值－就會係 0，用式嚟表達嘅話：

$e_{1}+e_{2}+e_{3}+...=0$，

當中 $y_{i}$ 係第 $i$ 個個體喺呢個時間點嘅誤差值。

$y_{baan}=C_{1}x_{1}^{b}+e_{1}+C_{1}x_{2}^{b}+e_{2}+C_{1}x_{3}^{b}+e_{3}+...$；

因為啲誤差值加埋會係 0，於是就得出

$y_{baan}=C_{1}x_{1}^{b}+C_{1}x_{2}^{b}+C_{1}x_{3}^{b}+...$

條群體線會冇晒啲 $e_{i}$，所以就會係一條「平滑」嘅線。

進階版本

對數線性模型仲有多個進階版本，包括：

• 史丹福-B模型考慮埋工人嘅經驗有幾豐富；史丹福-B 加多一個參數 $B$，$B$ 反映嘅係個工人之前生產過幾多件產品，一般而言經驗愈豐富，佢喺 $t=0$ 嗰陣嘅產量會愈高。史丹福-B 條式如下：

  $y=C_{1}(x+B)^{b}$；$(2)$

• 迪央模型模型就加入用機械幫手做生產；迪央模型嘅參數 $M$ 反映份工作有幾多成係由機械做嘅，而普通嘅二十世紀機械唔識學習，所以 $M$ 對產量設下嘅限制屬於不可變嘅因素。模型條式如下：

  $y=C_{1}[M+(1-M)x^{b}]$；$(3)$，而 $0\leq M\leq 1$

• 史丹福-B 同迪央模型嘅結合版，叫 S-曲線模型如下：

  $y=C_{1}[M+(1-M)(x+B)^{b}]$；$(4)$

• 穩定水平模型加咗一個常數 $C$，反映嘅係因為各種技術限制，工人無論點學習，佢做生產嗰時所需嘅成本梗會有個下限，條式如下－喺呢條式入面，無論 $x$ 變到幾大，常數 $C$ 存在令到 $y$ 永遠係正值，即係話 $y$ 會「最後去到一個大致穩定嘅水平」：

  $y=C+C_{1}x^{b}$；$(5)$

• 喺實際應用上，仲可以將多個對數線性模型出嘅 $y$ 加埋一齊，描述某個包含 $n$ 件作業嘅生產過程嘅總成本，即係

  $C_{i}$ 表示第 $i$ 件作業嘅 $C_{1}$ 參數，$x_{i}$ 表示第 $i$ 件作業嘅 $x$ 數值... 等等，得出：

  ${\text{Total y}}=C_{1}{x_{1}}^{b_{1}}+C_{2}{x_{2}}^{b_{2}}+C_{3}{x_{3}}^{b_{3}}+...+C_{n}{x_{n}}^{b_{n}}$；$(6)$

總括：

模型	公式	參數數量	有考慮先前經驗	有考慮機械使用
基本對數線性模型	$y=C_{1}x^{b}$	2	---	---
穩定水平模型	$y=C+C_{1}x^{b}$	3	---	---
史丹福-B	$y=C_{1}(x+B)^{b}$	3	✔	---
迪央模型	$y=C_{1}[M+(1-M)x^{b}]$	3	---	✔
S-曲線模型	$y=C_{1}[M+(1-M)(x+B)^{b}]$	4	✔	✔

自然底數模型

自然底數模型大致嘅樣：$y$ 嘅數值慢慢趨向一個恆定嘅最大可能數值。

自然底數模型最基礎嗰條式如下：

$y=C_{1}x^{b}e^{cx}$；$(7)$

當中 $c$ 係一個特定嘅常數，其餘數值嘅定義，同對數線性模型一樣。自然底數模型仲有以下呢啲版本：

$y=k(1-e^{{-(x+p)}/{r}})$；$(8)$

當中

$y\geq 0$ 而且 $x\geq 0$

喺 (8) 中，$y$ 係指某個工人嘅表現，單位係 $x$ 單位工作時間後嘅產出量；呢條式有三個參數，

• $k$ 係學習過程後達到嘅最大產出量－隨住 $x$ 變大，由 1 減嗰個數會愈嚟愈細，令 $y$ 數值慢慢接近 $k$，其中 $k\geq 0$；
• $p$ 反映個工人原先有嘅經驗；而
• $r$ 則反映學習率。

有學者指，(8) 呢條式喺工人要做全新嘅工作，即係 $x=0$，嗰陣唔能夠準確噉模擬現實情況，所以提出咗恆定時間模型呢一條新嘅式：

$y=y_{c}+y_{f}(1-e^{{-t}/{\tau }})$；$(9)$

喺 (9) 當中，$y_{c}$ 表示工人初時嘅表現，反映其先前經驗，$y_{f}$ 就代表工人學習結束去到嘅最大產量增長，$t$ 係花咗幾多時間喺該工作之上，相當於 (8) 入面嗰個 $x$ 。
總括：

模型	公式	參數數量	有考慮先前經驗	有考慮機械使用
三參數自然底數模型	$y=k(1-e^{{-(x+p)}/{r}})$	3	✔	---
恆定時間模型	$y=y_{c}+y_{f}(1-e^{{-t}/{\tau }})$	3	✔	---

雙曲模型

睇埋：雙曲函數

雙曲模型最基礎嗰條式如下：

$y=k({\frac {x}{x+r}})$；$(10)$

喺呢條式入面，$k$ 係表現嘅最大可能值，$x$ 係正確產品嘅數量，而 $r$ 反映要達到理想表現需要花幾耐時間，所以 $y$ 反映咗個工人完全做啱嘅比率－隨住時間過去 $x/(x+r)$ 理應會愈嚟愈接近 1 ，即係話個工人完全做啱嘅比率愈嚟愈接近 $k$ 呢個最大可能值。

雙曲模型亦可以加個參數 $p$ 代表個工人嘅經驗：

$y=k({\frac {x+p}{x+p+r}})$；$(11)$

總括：

模型	公式	參數數量	有考慮先前經驗	有考慮機械使用
兩參數雙曲模型	$y=k({\frac {x}{x+r}})$	2	---	---
三參數雙曲模型	$y=k({\frac {x+p}{x+p+r}})$	3	✔	---

進階模型

工人喺度做建築施工。

多變量模型

喺學習曲線研究上，多變量模型係指條曲線有多過一個自變數：單變量模型得一個自變數 $x$ 而好似 $B$ 同 $M$ 等都係數值由數據嗰度估計嘅參數；多變量模型會用多過一個自變數嚟預測應變數（表現 $y$）嘅數值，基本嘅結構如下：

$C_{x}=K\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}^{b_{i}}$；$(12)$，呢條式等同

$C_{x}=K({x_{1}}^{b_{1}}\times {x_{2}}^{b_{2}}\times {x_{3}}^{b_{3}}\times ...{x_{n}}^{b_{n}})$。

簡單例子：

• 想像 $C_{x}$ 係一個會隨學習下降嘅變數，例如犯錯率；
• 柞 $b_{i}$ 反映學習率，$\forall b_{i},-1<b_{i}<0$；
• 隨住學習，柞 $x_{i}$ 嘅數值上升，於是 ${x_{i}}^{b_{i}}$ 數值變到愈嚟愈接近 0 － ${x_{i}}^{b_{i}}$ → 0，而 $C_{x}$ 數值就會慢慢下降；

類似噉嘅式喺經濟學研究上有試過俾人攞嚟成功噉模擬生產成本隨時間嘅變化。

遺忘模型

睇埋：遺忘曲線

遺忘模型係指模擬遺忘過程嘅模型：人類嘅記憶系統有遺忘功能，即係話會隨時間忘記一啲系統評為唔洗儲嘅資訊同技能，所以好多時某樣工作冇做一段時間後，再做嗰樣工作嗰時嘅表現會「衰退」咗；而喺現實應用中，組織好少可會能夠永遠淨係做同一樣工作，同一位員工可能要同時做幾樣工作，又或者係做某樣工作期間因為人力資源上嘅需要，而畀上頭安排去做第個崗位，做完先返去做原本個崗位。因為呢啲緣故，對學習曲線嘅研究就會考慮遺忘呢個因素，探討遺忘會點影響學習曲線嘅形狀。例如係以下嘅模型：

$y=C_{1}e^{-t/s}$；$(13)$

當中

$s>0$

例：$y$ 係過咗 $t$ 咁耐時間冇做之後，再做返原本樣工作嗰時嘅表現，$C_{1}$ 係一個參數，$s$ 反映記憶有幾穩定－隨住時間過去 $t$ 數值上升， $-t/s$ 變得愈嚟愈負，$y$ 嘅數值會慢慢噉下降，最後去到穩定嘅低水平。

以下係心理學上某條遺忘曲線畫出嚟嘅樣：打戙條軸反映記憶嘅「強度」而打橫條軸則係時間。

應用價值

睇埋：行為科學、經驗學習曲線同易用度

喺教育工作上，學習曲線可以用嚟建立模型，模擬同預測人嘅學習。而除此之外，學習曲線嘅概念喺以下領域中都相當有用：

• 策略管理：管理者思考企業要點管理嗰陣，往往會希望使用數學模型估計企業嘅各種數值，當中經驗學習曲線就係表達產量同經驗間嘅關係；而事實係，學習曲線嘅概念就係源於管理學嘅；喺一九三六年，有美國嘅航空工程專家研究工人組裝飛機嗰陣嘅生產效率，由數據中發現組裝飛機嘅工人會愈做愈熟手，而隨住工人學習，組裝飛機嘅成本平均會下降 20% 左右－於是管理學上就有咗噉嘅做法，簡單講係用過往數據估一條學習曲線，再將所有員工嘅學習曲線加埋，計算產量跟住落嚟嘅變化。
• 遊戲製作：喺好多電子遊戲當中，玩家一開始嗰時都唔係玩得咁熟，所以遊戲早期嘅關卡通常都會易啲，後期嘅關卡則會為咗迎合熟手嘅玩家而會難啲；因為噉，設計遊戲嘅難度變化嗰陣，遊戲製作者有需要考慮玩家嘅技術會點樣變化，然後設計出關卡，唔係太易（太易會悶）又唔係太難（太難會冇癮），難度迎合玩家技術；有部份遊戲製作工作者會採用學習曲線，或者類似嘅模型。
• 人因工程：人因工程係研究點樣按生理同心理相關知識嚟改善產品同機械嘅設計；人因工程師好多時有興趣思考，例如點樣將做嘢用嘅架生設計得易上手，而對人因工程師嚟講，用家嘅學習曲線可以用嚟評估某件架生設計有幾好－假設第啲因素不變，某件架生容易學識點用，用家條學習曲線應該會短時間內去到接近最理想點變平嘅狀態。

兩件產品，A 同 B，分別嘅學習曲線；產品 A 條學習曲線比較快到達平嘅最高點，即係 A 對於用家嚟講比較易學識點樣用。

遊戲設計

一班人喺度玩德州話事啤；人玩遊戲往往會愈玩愈叻。

睇埋：動態難度調控

遊戲設計係研究點樣設計遊戲嘅一個領域－包括圖板遊戲、紙牌遊戲以至電子遊戲等嘅設計冚唪唥都屬於遊戲設計嘅範疇。喺遊戲設計理論上有所謂嘅心流（flow）概念，指出一隻遊戲如果要令玩家投入，其中一樣最重要嘅嘢係隻遊戲要切合玩家嘅技術：一般嚟講，一隻遊戲易得滯會搞到玩家悶，而難得滯就會搞到玩家冇癮；如果一隻遊戲難度永遠不變，隨住玩家玩得愈嚟愈熟手（學習），隻遊戲話咁快就會變得太容易，長遠嚟講難以令玩家持續投入，所以電子遊戲往往會愈玩愈難，例如單人遊戲入面後啲嘅關卡會難過前啲嗰啲，而 PvP 多人網上遊戲就往往會按玩家技術將玩家分級，並且俾玩家同技術相約嘅玩家對局。噉亦即係表示，遊戲設計師要考慮玩家會點樣隨時間玩到愈嚟愈熟手，並且用呢樣資訊思考隻遊戲嘅難度調控－有可能需要考慮玩家嘅學習曲線。

對於難度曲線嘅設計，遊戲設計業界有多種做法：

• 難度可以係線性噉上升，呢種做法一般會形成一個對玩家嚟講好容易預測嘅遊戲環境；
• 難度又可以係波浪式（英文：wave）噉上升，即係普遍上升但耐唔耐會突然噉有大起大落，例如係好多單人遊戲入面都有打大佬呢家嘢－遊戲突然出現一個好強嘅敵人，令難度突然勁升，打完個敵人之後難度就回復正常。
• 間距式（英文：interval）係指條難度曲線嘅難度值喺每個時間點有幾個唔同嘅可能數值，即係遊戲程式內部有個變數表示現時難度，而呢個變數 foreach 時間點可以有幾個唔同嘅可能數值，所以唔同玩家對遊戲難度可能有唔同體驗。

... 等等。

機械學習

兩條 ML 研究用嘅學習曲線；X 軸係讀取咗嘅數據個案嘅數量。

内文：訓練曲線

好似學習曲線噉嘅概念，喺機械學習上都會用到。

機械學習係人工智能嘅一個子領域，專門研究點樣教電腦學習：機械學習演算法做嘅嘢係教電腦點樣運用讀取到嘅數據建立一個內部嘅數學模型，並且用個模型對未來作出預測；機械學習研究一般跟手就會用某啲指標量度個模型嘅表現，即係例如個程式用演算法同數據做完學習之後，睇吓個模型預測未來嗰陣有幾準。機械學習喺金融（用嚟教電腦預測股價）同醫療（用嚟教電腦做診斷）等領域上都相當有價值。

喺機械學習上，常見嘅做法好似下面嘅虛擬碼：

 建立一個數學模型，初始化將啲參數設做隨機數值；
 Foreach 數據庫入面嘅個案
   讀取個個案嘅數據；
   按讀到嘅數據調整個模型嘅參數；

機械學習上嘅學習曲線（又有叫訓練曲線）一般做法係，搵某啲指標做「個機械學習程式表現有幾好」嘅指標，例如係「個程式預測未來嗰陣，佢做嘅預測同實際數值之間嘅差距」（呢個數值係愈細愈理想），然後用呢啲指標做 Y 軸，總共讀取咗嘅個案數量做 X 軸。喺理想嘅情況下，隨住個機械學習程式見過愈嚟愈多嘅個案，佢會變到愈嚟愈叻擅長做預測，表現指標值會慢慢噉接近理想數值。如果條訓練曲線會慢慢趨近一個特定數值 $C$，$y$ → $C$，就表示個機械學習嘅表現有上限。訓練曲線喺機械學習研究上可以用嚟比較唔同嘅機械學習演算法嘅功效，又或者係用嚟睇吓個模型用乜嘢參數值比較好等等。

相關領域

• 管理學：尤其係可以睇下組織心理學。
• 教育學
• 遊戲設計
• 人因工程
• 人機互動

睇埋

• 習慣
• 生產力
• 遊戲化
• 報酬遞減
• 用家體驗

文獻

遊戲設計文獻：

• Adrian, D. F. H., & Luisa, S. G. C. A. (2013, August). An approach to level design using procedural content generation and difficulty curves. In 2013 IEEE Conference on Computational Inteligence in Games (CIG) (pp. 1-8). IEEE.
• Aponte, Maria-Virginia; Levieux, Guillaume; Natkin, Stéphane (2009). "Scaling the Level of Difficulty in Single Player Video Games" (PDF). In Natkin, S.; Dupire, J. (eds.). Lecture Notes in Computer Science. International Conference on Entertainment Computing 2009. 5709.
• Aponte, M. V., Levieux, G., & Natkin, S. (2011). Measuring the level of difficulty in single player video games. Entertainment Computing, 2(4), 205-213.
• Bostan, B., & Öğüt, S. (2009). Game challenges and difficulty levels: lessons learned From RPGs. In International simulation and gaming association conference (pp. 1-11).

其他領域文獻：

• Anzanello, M. J., & Fogliatto, F. S. (2011). Learning curve models and applications: Literature review and research directions (PDF). International Journal of Industrial Ergonomics, 41(5), 573-583.
• Gallistel, C. R., Fairhurst, S., & Balsam, P. (2004). The learning curve: implications of a quantitative analysis (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences, 101(36), 13124-13131.
• Glock, C. H., Grosse, E. H., Jaber, M. Y., & Smunt, T. L. (2019). Applications of learning curves in production and operations management: A systematic literature review (PDF). Computers & Industrial Engineering, 131, 422-441.
• Karpicke, J. D., & Roediger III, H. L. (2007). Repeated retrieval during learning is the key to long-term retention (PDF). Journal of Memory and Language, 57(2), 151-162.
• Schilling, M. A., Vidal, P., Ployhart, R. E., & Marangoni, A. (2003). Learning by doing something else: Variation, relatedness, and the learning curve (PDF). Management science, 49(1), 39-56.
• Wright, T. P. (1936). Factors affecting the cost of airplanes (PDF). Journal of the aeronautical sciences, 3(4), 122-128.

拎

• （英文）難度曲線，Gamasutra
• （中文）設計一堂精采嘅課程：善用教學曲線安排教學流程